数学星图 · 全部概念

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每个概念一页：陈述、说明、参考，以及它与别的概念之间的推出、等价与定义引用。 点击任意概念进入它自己的页面；想在图上看它们的位置，就从 星图首页 进。

数理逻辑 Mathematical Logic 4 个概念

一阶语言、公式与满足关系 —— ZFC 的公理就写在这门语言里。

一阶语言与公式 4 个概念

造出「公理写在哪门语言里」这件事本身：符号表 → 项与公式 → 代入 → 满足关系。ZFC 的两条公理模式用的就是它。

集合论 Set Theory 49 个概念

ZFC 公理系统、序数、基数与选择原理。

ZFC 公理系统 9 个概念

造出「集合」这套语言本身：九条公理定下什么叫集合、怎么造集合。

集合的构造 9 个概念

造出日常要用的零件：空集、子集、并交差补、幂集、有序对、笛卡尔积。

关系与函数 6 个概念

造出函数：关系加上单值性。顺带造出等价关系与商集 —— 后面 ℤ / ℚ / ℝ 全靠这一招粘出来。

基数与等势 7 个概念

造出「集合有多大」这把尺子：等势 → 基数 → 可数与不可数 → Cantor 定理 → 基数可比。

数系的构造 13 个概念

造出数本身：ℕ → ℤ → ℚ → ℝ → ℂ。每一步都是同一招 —— 把已有对象按等价关系粘成等价类；ℝ 那一跳是把 ℚ 按 Cauchy 列**完备化**。⚠️ ℝ 是造出来的，三组性质（域、序、确界原理）是**定理**，不是定义。

序数与超限 5 个概念

造出「无穷有多长」这把尺子：良序集的序型 → von Neumann 序数（传递的良序集）→ 三歧性 → 超限递归 / 超限归纳，顺带发现序数全体是真类。

序理论 Order Theory 12 个概念

偏序、格、链与完备性；佐恩引理一类「极大原理」的舞台。

序结构 6 个概念

造出「偏序集」这套舞台：链、上界、极大元、良序、有限特征。

  • 偏序集偏序集 / 全序集（Partially Ordered Set）
  • 界与确界上界 / 下界 / 确界 / 极大元（Bounds, Suprema & Extremal Elements）
  • 链链 / 反链（Chain / Antichain）
  • 序同构序同构与序型（Order Isomorphism）
  • 良序集良序集（Well-Ordered Set）
  • 有限特征有限特征族（Family of Finite Character）

选择原理 6 个概念

造出存在性证明的万能发动机：选择公理 ⟺ 良序定理 ⟺ 佐恩引理 ⟺ Hausdorff 极大原理 ⟺ Tukey 引理。五个说法是一个强连通块，永远同层。

拓扑学 Topology 79 个概念

开集、连续、紧致与连通；再往上是紧 Hausdorff、Stone 空间与紧生成空间。

拓扑空间 22 个概念

造出「开集」这套不依赖距离的语言：拓扑空间 → 闭集与闭包 → 基 → 连续映射 → 同胚。

度量空间 8 个概念

造出「用距离算出来的拓扑」：完备、全有界、列紧，以及紧性的几种等价刻画。

紧 Hausdorff 空间 11 个概念

造出「紧 Hausdorff 这套范畴」：Stone–Čech 紧化 → 自由对象 → 投射对象 → 自由表示。它是一切「紧块」的来源。

Stone 与 Stonean 15 个概念

造出「不连通的那一半紧 Hausdorff 空间」：全不连通 → Stone 空间 = 投射有限空间 → 极不连通的 Stonean 空间 → Gleason 定理与布尔环表示。

紧生成空间与弱 Hausdorff 23 个概念

造出「乘积好用的拓扑空间范畴」：紧生成空间（kk-空间）→ kk-拓扑与 kk-化 → 商映射与积 → 紧开拓扑 → 弱 Hausdorff → CGWH\mathrm{CGWH} 是反射子范畴。

抽象代数 Abstract Algebra 19 个概念

群、环、域、模与线性代数；佐恩引理的经典应用场。

代数结构 17 个概念

造出代数语言本身：**群** = 集合 + 运算 + 公理 → 子群 → 正规子群 → 商群 → 第一同构定理；再往上叠**域**（= 两个阿贝尔群 + 分配律）与**有序域**。

向量空间的基 2 个概念

造出线性代数的地基：每个向量空间都有基。

分析学 Analysis 151 个概念

极限、测度、泛函分析；Hahn–Banach 等定理也依赖选择原理。

实数与极限 7 个概念

在造好的 ℝ 上搭起分析的语言：区间 → 数列极限与级数 → 连续 → 导数。**确界原理**（ℝ 是完备有序域）也在这里 —— 它是分析学的引擎。（ℝ 与 ℂ 本身的构造在「数系的构造」里。）

集合族与 σ-代数 10 个概念

造出「能承载测度的集合族」：环 → σ-环 → σ-代数 → 生成、Borel、单调类判据。测度本身在下一个团里。

测度的构造 18 个概念

造出「测度」这个对象本身：预测度 → 外测度 → Carathéodory 扩张 → 完备化与唯一性 → Lebesgue–Stieltjes 测度。

可测函数与收敛 17 个概念

造出「可测」这套语言：可测函数 → 简单函数逼近 → 五种收敛 → Egorov / Lusin。有了它才能谈积分。

积分 21 个概念

造出 Lebesgue 积分与 L¹：简单函数的加权和 → 非负函数的 sup → 单调收敛 / Fatou / 控制收敛三大定理 → 可积函数。

乘积测度与 Fubini 11 个概念

造出「一块块算」的办法：积 σ-代数 → 截口 → 乘积测度 → Fubini–Tonelli。

符号测度与分解 19 个概念

造出「带符号的测度」及其结构定理：Hahn 分解 → Jordan 分解 → 全变差 → Radon–Nikodym。

微分定理 14 个概念

造出「逐点求导」这套工具：覆盖引理 → 极大函数 → Lebesgue 微分定理 → RN 导数的点态公式。

有界变差与绝对连续 16 个概念

造出「测度 ↔ 函数」的字典：全变差 → BV 的 Jordan 分解 → NBV 与 Borel 测度一一对应 → 微积分基本定理。

L^p 空间 18 个概念

造出函数空间本身：Hölder / Minkowski → Banach 完备 → 空间之间的包含 → 对偶 (L^p)* ≅ L^q。

范畴论 Category Theory 185 个概念

范畴、函子、自然变换、极限与伴随；再往上走到层论与拓扑斯。

范畴与图 17 个概念

造出「范畴」这个概念本身：先有图 (V,E,s,t)(V, E, s, t)，再配上复合与单位，得到一个六元组。

函子与自然变换 13 个概念

造出「范畴之间的翻译」：函子 → 忠实 / 满 / 全忠实 → 自然变换 → 范畴等价。

图与极限 22 个概念

造出「在图上取值」这件事：交换图 → 锥 → 极限（泛锥）→ 积 / 纤维积 / 等化子。

单满、子对象与像 6 个概念

造出「用箭头替代元素」这套语言：可消性（单 / 满）→ 子对象 → 像与余像 → 泛元素。

范畴里的代数结构 10 个概念

把「集合 + 运算 + 公理」搬到任意有有限积的范畴里：幺半群对象 → 群对象 → 阿贝尔群对象。⭐ Ab(Set)=Ab\mathrm{Ab}(\mathbf{Set})=\mathbf{Ab}、Ab(Top)\mathrm{Ab}(\mathbf{Top}) = 拓扑阿贝尔群、Ab(Cond)=CondAb\mathrm{Ab}(\mathrm{Cond})=\mathrm{CondAb} —— 代数那条线与凝聚态那条线在这里接上。

预层与米田 17 个概念

造出「表示」这套语言：预层范畴是落点，米田引理说自然变换集与 F(X)F(X) 一一对应，稠密性定理说每个预层都是可表示预层的余极限。

伴随与反射 27 个概念

造出「两个方向之间的最佳翻译」：伴随 → 单位与余单位 → 保极限 → 伴随函子定理 → 反射子范畴 → Kan 延拓。

层与拓扑 37 个概念

造出「覆盖」这套语言：筛 → 预拓扑 / Grothendieck 拓扑 → 层（下降条件）→ Čech 函子与层化 → site 的层范畴的好性质。

拓扑斯 36 个概念

造出「几何的代数替身」：预拓扑斯 → 预标准拓扑 → 生成元 → 拓扑斯 → Giraud 定理 → 拟紧拟分离 → 拓扑斯的态射。

同调代数 Homological Algebra 123 个概念

加法与阿贝尔范畴、复形与导出三角、同调与长正合列、谱序列。

加法与阿贝尔范畴 28 个概念

造出做同调代数的场地：预加法 / 加法范畴 → 预阿贝尔 → 阿贝尔范畴 → AB 公理 → Grothendieck 范畴。

复形与导出三角 34 个概念

造出「两两复合为零」的机器：复形 → 同伦 → 同伦范畴 → 映射锥 → 导出三角，以及三角的旋转与延拓。

同调与正合列 7 个概念

造出「把复形读成不变量」这件事：同调 → 上同调函子 → 长正合列 → 拟同构与零调 → 内射对象。

过滤与谱序列 11 个概念

造出「逐层逼近同调」的工具：带过滤的对象 → 关联分次 → 谱序列从 ErE_{r} 页逐页算到 E∞E_{\infty}。

层上同调 30 个概念

把导出函子开到层上：Hn(X,M)=RnΓ(X,M)H^{n}(X, M) = R^{n}\Gamma(X, M) → Čech 上同调（便宜的算法）→ Cartan–Leray 谱序列把它们接起来 → 无环层 → 拓扑斯态射的导出函子。

阿贝尔层 13 个概念

造出「拓扑斯里的阿贝尔群」：取值一般的层 → 阿贝尔层 → 拓扑斯上的阿贝尔群是 Grothendieck 范畴 → 内 Hom → 张量积 → 平坦性。

凝聚态数学 Condensed Mathematics 87 个概念

把拓扑空间换成「紧 Hausdorff 空间上的层」：凝聚态集、凝聚态阿贝尔群。

凝聚态集 29 个概念

造出主角：紧 Hausdorff 空间上的层就是凝聚态集；换到自由对象上，层条件退化成「保有限积」。

凝聚态阿贝尔群 7 个概念

在凝聚态集上做代数：阿贝尔群值层 → 截面函子 → 足够多投射对象 → 张量与内 Hom。

拓扑阿贝尔群 13 个概念

造出「拓扑阿贝尔群 → 凝聚态阿贝尔群」这条通道：关联凝聚态群（保所有极限）→ 连续同态即内部 Hom → 正合列的搬运 → Pontryagin 对偶 → 局部紧阿贝尔群不是阿贝尔范畴。

凝聚态上同调 38 个概念

造出「哪些空间的上同调会自动消失」：Stonean 上零调 → Stone 上常系数零调 → 局部紧上等于层上同调 → 半范数 / Banach 阿贝尔群与 KK-有界正合 → 实 Banach 在紧 Hausdorff 上零调 → Breen–Deligne 分解 → RHom⁡\operatorname{RHom} 的逐类计算 → 局部紧阿贝尔群只剩 Ext⁡0,Ext⁡1\operatorname{Ext}^{0}, \operatorname{Ext}^{1}。

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