足够多投射对象

足够多投射对象（Enough Projectives）

def.enough-projectives · 同调代数 · 投射对象 · 足够多 · 消解

又称足够多投射·enough projectives·足够多内射·enough injectives·Definition 1.4.8·Def 1.4.8·Proposition 7.1.21

陈述

范畴 $\mathcal{C}$ 有足够多的投射对象，如果对每个 $X \in \mathcal{C}$ ，都存在投射对象 $P$ 与满态射

P \twoheadrightarrow X.

对偶地：有足够多的内射对象，如果每个 $X$ 都能单射进某个内射对象 $X \hookrightarrow I$ 。

⭐ 它保证投射消解存在：由 $P_{0} \twoheadrightarrow X$ 起，把核 $\ker(P_{0} \to X)$ 再用一个投射对象盖住，如此递归得到投射消解

\cdots \to P_{2} \to P_{1} \to P_{0} \to X \to 0,

于是可以取左导出函子（ $\operatorname{Tor}$ 、 $L^{n}F$ ）。对偶地足够多内射给出内射消解与右导出函子（ $\operatorname{Ext}^{n}$ 、 $R^{n}F$ ）。

为什么需要「足够多」这个条件：导出函子是把对象换成消解再取同调，若某个对象压根没有消解，定义就卡住。所以同调代数挑范畴时会点名「有足够多投射 / 内射」。

例子： $A\text{-}\mathbf{Mod}$ 两个都有（自由模投射、每个模可嵌入内射模）； $\mathrm{CondAb}$ 有足够多投射（有限表现的投射凝聚态阿贝尔群生成它）；Grothendieck 范畴自动有足够多内射。