蛇引理

说明

为什么叫「蛇」：把这条长正合列画成一圈，六个群/模串起来正好是一条蛇的形状 —— $\delta$ 是蛇头那一拐。

⚠️ 不能追元素。 $\mathcal{A}$ 是一般的阿贝尔范畴，对象里没有「元素」可挑，$x \in \ker c$ 这种话在这里没有意义。合法的替代是泛元：「$x \in X$」一律读成「任给态射 $t : T \to X$」（Yoneda 的成员语言），其余全靠核与余核的泛性质。

$\delta$ 怎么造（只用泛性质）。 设 $k : K \rightarrowtail C$ 是 $c$ 的核，把 $g$ 沿 $k$ 拉回得 $P := B \times_{C} K$ 与投影 $p : P \to B$、$q : P \to K$：

1. $g f = 0$ 经拉回性质给出唯一的 $u : A \to P$；由 $f = \ker g$ 单、$g$ 满，得短正合列 $0 \to A \xrightarrow{\;u\;} P \xrightarrow{\;q\;} K \to 0$。
2. $g' b p = c\, g p = c\, k\, q = 0$，故 $b p$ 穿过 $f' = \ker g'$：存在唯一 $\beta : P \to A'$ 使 $f' \beta = b p$。
3. $f' \beta u = b p u = b f = f' a$，而 $f'$ 单，故 $\beta u = a$ —— 于是 $\beta$ 与 $A' \to \operatorname{coker} a$ 的复合把 $u$ 杀掉，由 $q = \operatorname{coker} u$ 的泛性质，存在唯一

正合性同样逐步用核 / 余核的泛性质验证（关键一步是 $\operatorname{im} u = \ker q$），没有一步需要元素。∎

⭐ 用处：它是长正合列的引擎 —— 把短正合列 $0 \to K \to L \to M \to 0$ 的每一层（核、余核）串起来，靠的就是每层的 $\delta$。凡是「有了短正合列想推长正合列」的地方，底下都在跑蛇引理。