等化子 / 余等化子

等化子与余等化子（Equalizer / Coequalizer）

定义
依赖深度 layer 12
范畴论
图与极限

def.equalizer · 范畴论 · 极限 · 核

又称等化子·余等化子·equalizer·coequalizer·核·ker·coker·Definition 1.3.8·Def 1.3.8·Exercise 1.36

陈述

平行对 $f, g : X \rightrightarrows Y$ 的极限叫等化子，记 $\operatorname{eq}(f,g) = \ker(f,g)$ ；余极限叫余等化子，记 $\operatorname{coker}(f,g)$ 。它们接成

\ker(f,g) \longrightarrow X \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows}} Y \longrightarrow \operatorname{coker}(f,g)

且中间的 $\ker(f,g) \to X$ 是单态射、右端的 $Y \to \operatorname{coker}(f,g)$ 是满态射。这一段叫左正合。

说明

直观：等化子是 $X$ 里「被 $f$ 与 $g$ 送到同一处」的那一部分；余等化子是 $Y$ 里「把 $f(x)$ 与 $g(x)$ 粘起来」的商。

例： $\mathbf{Set}$ 里 $\ker(f,g) = \{x \in X : f(x) = g(x)\}$ ， $\operatorname{coker}(f,g) = Y/\!\sim$ （ $\sim$ 由 $f(x) \sim g(x)$ 生成）。 $\mathbf{Top}$ 里加子空间 / 商拓扑。 $\mathbf{Ab}$ 里 $\ker(f,g) = \ker(f - g)$ —— 两个映射的等化子退化成一个映射的核，这正是「核」这个名字的来源。

它指向谁（出边）

定义引用 12

核与余核用到本页定义引用

$\ker f$ 就是 $f$ 与零态射的等化子，用的是「等化子」这个概念。
层中单满即同构用到本页定义引用

「满-单分解」把任意态射拆成 $F \twoheadrightarrow I \rightarrowtail G$ 。
复形范畴是加法范畴用到本页定义引用

核与余核都是逐项取出来的。
同调的短正合列用到本页定义引用

这条正合列把同调夹在余核与核之间。
长正合列用到本页定义引用

「正合列」本身就是一句关于核与像的话。
正则满态射用到本页定义引用

「某个平行对的余等化子」用的是余等化子。
有效等价关系用到本页定义引用

$\overline{X} := \operatorname{coker}(R \rightrightarrows X)$ 是余等化子。
同调用到本页定义引用

同调里出现的 $\ker$ 与 $\operatorname{im}$ 是等化子与像。
加法 / 阿贝尔范畴用到本页定义引用

预阿贝尔范畴说的是「每个态射都有核与余核」，阿贝尔范畴再加「单满都正则」。
极限的构造用到本页定义引用

第二步取等化子。
蛇引理用到本页定义引用

要用到核与像（等化子的语言）。
严格态射用到本页定义引用

余像与像都是余等化子 / 等化子的语言。

谁指向它（入边）

定义引用 1

极限 → 本页定义引用

等化子是平行对 $f, g : X \rightrightarrows Y$ 的极限。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.3

常见问法 3 条

图不交换怎么办也看图与交换图
等化子和核是什么也看单态射 / 满态射 / 同构、同调的短正合列
极限怎么构造也看极限的构造、极限

同一星团的其他概念 22 个

继续

在星图里打开「等化子 / 余等化子」　·　全部 709 个概念　·　 Markdown 原文　·　读图指南与记号表