单态射 / 满态射 / 同构

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 覆盖筛即余积满射推出
  覆盖族生成覆盖筛 $\iff$ 余积满

  记覆盖族为 $(f_{i} : X_{i} \to X)_{i \in I}$，它生成的筛为 $R \subseteq h_{X}$，并记 $q : \coprod_{i} X_{i} \to X$ 为余积给出的那个态射。

  $R = h_{X}$ 这件事的意义。 $R(Y) \subseteq \operatorname{Hom}(Y, X)$ 是「能穿过某个 $X_{i}$」的那些映射。$R = h_{X}$ 就是说每个 $Y \to X$ 都能穿过某个 $X_{i}$。

  （$\Longleftarrow$） 设 $q$ 是满态射，即对任意 $T$ 与任意 $u, v : X \to T$，$u \circ q = v \circ q \implies u = v$。设 $g : Y \to X$。由余积的泛性质，$g$ 对应一族 $g \circ f_{i} : X_{i} \to Y \to X$…… 更直接地：把 $g$ 沿余积的泛性质写成 $g \circ q : \coprod_{i} X_{i} \to X$，它按构造分解为 $(g \circ f_{i})_{i}$。由 $q$ 满（右可消）得 $g$ 必须已经是 $q$ 的「商」—— 即存在某个 $i$ 与 $h : Y \to X_{i}$ 使 $g = f_{i} \circ h$。所以 $R(Y) = \operatorname{Hom}(Y, X)$ 对所有 $Y$ 成立，$R = h_{X}$。

  （$\Longrightarrow$） 设 $R = h_{X}$。要证 $q$ 右可消。设 $u, v : X \to T$ 且 $u \circ q = v \circ q$。对每个 $i$ 有 $u \circ f_{i} = v \circ f_{i}$。对任意 $Y$ 与任意 $g : Y \to X$，由 $R = h_{X}$ 存在 $i$ 与 $h : Y \to X_{i}$ 使 $g = f_{i} \circ h$，于是

  $$u \circ g = u \circ f_{i} \circ h = v \circ f_{i} \circ h = v \circ g$$

  取 $Y = X$、$g = 1_{X}$ 即得 $u = v$。所以 $q$ 是满态射。∎

  这条把「覆盖」这件听起来很几何的事，变成了一句纯箭头的话。以后凡是要在 site 上验覆盖，都可以改写成一个余积是否满射的问题。

定义引用 11

• 单态射的切片刻画 用到 本页定义引用

  判定的是单（满）态射。

• 预层态射的单满按点检验 用到 本页定义引用

  结论说的「$\varphi$ 是单态射（满态射）」是范畴论意义下的可消性，不是逐点单射 —— 逐点单射正是要证的内容。

• 内射对象的判据 用到 本页定义引用

  「每个单态射都有收缩」是等价条件之一。

• 子对象 用到 本页定义引用

  子对象就是一个单态射 $Y \rightarrowtail X$ —— 用「可以嵌入」代替「是子集」。

• 像 / 余像 用到 本页定义引用

  「$I$ 是 $Y$ 的子对象」这句话里的 $I \to Y$ 是单态射。

• 投射 / 内射对象 用到 本页定义引用

  投射性的定义要求「满态射有提升」，内射性对偶地要求「单态射有延拓」—— 纯箭头语言。

• 正则满态射 用到 本页定义引用

  正则满态射是余等化子，是满态射里更「规矩」的那一类。

• 加法 / 阿贝尔范畴 用到 本页定义引用

  阿贝尔范畴的判据之一：每个单态射都是正则的。

• 分式演算下的局部化 用到 本页定义引用

  消去条件用的是「$v \circ f = v \circ g$」这种等式。

• 同构的截面与收缩唯一 用到 本页定义引用

  命题里的同构就是这个节点定义的。

• 保纤维积 ⟹ 保单态射 用到 本页定义引用

  结论是保单态射。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 纤维积 / 纤维余积 → 本页定义引用

  单态射的等价条件 $Y \cong Y \times_X Y$ 用的正是沿 $i$ 的纤维积。

• 截面与收缩 → 本页定义引用

  同构的定义用的就是截面与收缩：有截面的单态射（或有收缩的满态射）就是同构。