像 / 余像

像与余像（Image / Coimage）

定义
依赖深度 layer 15
范畴论
单满、子对象与像

def.image · 范畴论 · 像 · 泛性质

又称像·余像·image·coimage·严格态射·strict·Definition 1.3.11·Def 1.3.11

陈述

态射 $f : X \to Y$ 的像 $\operatorname{im} f$ 是 $Y$ 的一个子对象，它在一切分解 $f : X \to I \rightarrowtail Y$ 组成的范畴中是始对象（即：任何别的分解都唯一地穿过它）。对偶地， $\operatorname{coim} f$ 是分解 $X \twoheadrightarrow I \to Y$ 的余泛对象。

总有一个态射

\operatorname{coim} f \longrightarrow \operatorname{im} f

它是同构时，称 $f$ 是严格的（strict）。

说明

在 $\mathbf{Set}$ 、 $\mathbf{Ab}$ 、 $\mathbf{Top}$ 这些范畴里 $\operatorname{coim} f \to \operatorname{im} f$ 总是同构，所以平时不必区分两者；一般范畴里则不然。

与 $\mathbf{Set}$ 里「像就是 $\{f(x)\}$ 」相比，这里多出来的东西是泛性：像不再是一堆点的集合，而是「最小的那个可以穿过它的中间对象」。子对象、单态射、像三者连在一起看，就是「把元素语言换成箭头语言」的样例。

它指向谁（出边）

定义引用 6

像就是余核的核用到本页定义引用

命题给的就是「像」的另一副面孔。
满-单分解用到本页定义引用

结论里「严格」说的是 $\operatorname{im} f \cong \operatorname{coim} f$ 。
加法 / 阿贝尔范畴用到本页定义引用

等价条件之一说的是「 $\ker(N \to \operatorname{coker} f)\cong\operatorname{coker}(\ker f\to M)$ 」—— 像与余像重合。
五引理用到本页定义引用

用的还是「正合 = 核 = 像」。
严格态射用到本页定义引用

严格性比较的是余像与像。
一般正合列用到本页定义引用

正合的判据是 $\operatorname{im} = \ker$ 。

谁指向它（入边）

定义引用 2

子对象 → 本页定义引用

像被定义为 $Y$ 的子对象，即一个单态射 $I \rightarrowtail Y$ 。
单态射 / 满态射 / 同构 → 本页定义引用

「 $I$ 是 $Y$ 的子对象」这句话里的 $I \to Y$ 是单态射。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1

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