一般正合列exact sequence

正合列

def.exact-sequence · 同调代数 · 正合列 · 核 · 像

又称正合列·exact sequence·短正合列·Definition 5.2.3

陈述

设

\cdots \longrightarrow M^{n-1} \xrightarrow{\ d^{n-1}\ } M^{n} \xrightarrow{\ d^{n}\ } M^{n+1} \longrightarrow \cdots

是阿贝尔范畴中的复形（ $d^{n} \circ d^{n-1} = 0$ ）。称它在 $M^{n}$ 处正合，如果

\operatorname{im}(d^{n-1}) = \ker(d^{n}).

处处正合的复形叫正合列。特别地，短正合列

0 \longrightarrow M' \xrightarrow{\ f\ } M \xrightarrow{\ g\ } M'' \longrightarrow 0

意思是： $f$ 是单态射、 $g$ 是满态射，且 $\operatorname{im}(f) = \ker(g)$ 。

一句话：正合 = 「进来的东西恰好就是出去会被杀掉的核」—— 没有多、没有少。 $\operatorname{im} \subseteq \ker$ 是复形条件自动给的（ $d \circ d = 0$ ），正合要求的只是反方向的包含。

两端的 $0$ 在做什么：左端的 $0 \to M'$ 表示 $\ker(f) = 0$ ，即 $f$ 单；右端的 $M'' \to 0$ 表示 $\operatorname{im}(g) = M''$ ，即 $g$ 满。于是「短正合列」把单、满、正合三件事打包成一条。

同构的另一种写法：短正合列等价于「 $M'$ 是 $M$ 的子对象、且 $M'' \cong M/M'$ 」。这就是把「扩张」讲清楚的最短方式。

📌 与「分裂短正合列」相对照：一般正合列不保证可以写成直和；能写成 $M \cong M' \oplus M''$ 的那些是特殊情形。