核与余核

陈述

设 $\mathcal{C}$ 是（预）加法范畴，$f : M \to N$。

• $f$ 的核 $\ker f := \ker(f, 0)$ 是 $f$ 与零态射 $0_{M,N}$ 的等化子（若存在）；
• $f$ 的余核 $\operatorname{coker} f$ 是 $f$ 在 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 中的核（若存在），也就是 $f$ 与零态射的余等化子；
• 列 $0 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M''$ 叫左正合的，如果 $f$ 实现 $\ker g$（即 $M' \cong \ker g$）；对偶地 $M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ 叫右正合的，如果 $g$ 实现 $\operatorname{coker} g$；
• 既左正合又右正合的列 $0 \to M' \xrightarrow{\varphi} M \xrightarrow{\psi} M'' \to 0$ 叫短正合列，此时称 $M$ 是 $M'$ 被 $M''$ 的扩张。