直和就是积

说明

证明。 ① 先推出正交性。 把 $i_{1}p_{1} + i_{2}p_{2} = 1_{M}$ 夹在 $p_{1}$ 与 $i_{2}$ 之间：

两边在阿贝尔群 $\operatorname{Hom}(M_{2},M_{1})$ 里减去 $p_{1}i_{2}$，得 $p_{1}i_{2} = 0$ ✓；对称地 $p_{2}i_{1} = 0$。合起来就是 $p_{k}i_{l} = \delta_{kl}$ ✓。 ② 直和 $\implies$ 是积。 给 $f_{k} : X \to M_{k}$，令 $f := i_{1}f_{1} + i_{2}f_{2}$。由 ① 得 $p_{k}f = f_{k}$ ✓。唯一性：若 $h$ 也满足 $p_{k}h = f_{k}$，则

故 $(M,p_{1},p_{2})$ 是积 ✓。 ③ 是积 $\implies$ 直和。 设 $(M,p_{1},p_{2})$ 是积。由积的泛性取唯一的 $i_{k} : M_{k} \to M$ 使 $p_{l}i_{k} = \delta_{lk}$，于是 $p_{k}i_{k} = 1_{M_{k}}$ ✓；又 $i_{1}p_{1} + i_{2}p_{2}$ 与 $1_{M}$ 的两个投影都是 $p_{l}$，由积的唯一性两者相等 ✓。 ④ 余积。 把 ② ③ 搬到 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$（积与余积互换、$i$ 与 $p$ 互换）即得 ✓。∎ ⭐ 这就是双积（biproduct）这个名字的来历：积与余积在预加性范畴里重合，所以直和只需要谈一个对象。

为什么加法范畴一定要有双积：正因为两者重合，才可以把「加」（$f + g$）与「余积的含入」写在同一套符号里 —— 这是整个同调代数记号的地基。