AB6：滤过余极限与积交换

说明

证明（两边各算一次）。 余极限取在 $\prod_{j} I_{j}$ 上，而滤过范畴的积仍是滤过的（任意两个对象 $(i_{j})$、$(i'_{j})$ 在每个分量上各取上界，再逐坐标拼起来）。

• 单：左边一个元素是某一点 $(i_{j})_{j}$ 上的族 $(x_{j})_{j}$。若它在右边为 $0$，则对每个 $j$ 存在 $i_{j} \to i'_{j}$ 把 $x_{j}$ 杀掉；$(i'_{j})_{j}$ 就是 $\prod_{j} I_{j}$ 里接受它的那个对象，于是这个类本身就是 $0$。
• 满：右边任给 $(t_{j})_{j}$，每个 $t_{j}$ 由某个 $x_{j} \in M_{j}(i_{j})$ 表示；把 $(i_{j})_{j}$ 与 $(x_{j})_{j}$ 拼起来就是左边的一个元素，它映到 $(t_{j})_{j}$。∎

⚠️ 关键是「每个 $j$ 各有自己的滤过范畴」。 若所有 $j$ 共用同一个 $I$（取对角），断言是错的 —— 那时只有 $J$ 有限才对（那就是「滤过余极限与有限积交换」，来自滤过余极限是 sifted 余极限）。 反例：$I = (\mathbb{N}, \le)$、$M_{i,j} = \mathbb{Z}/p^{i}$，转移映射取「乘以 $p$」，于是 $\varinjlim_{i} \mathbb{Z}/p^{i} = \mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}$。取 $t = (t_{j})_{j}$，其中 $t_{j}$ 是阶为 $p^{j}$ 的那个元素：任何单个 $i$ 上，元素只能有阶 $\le p^{i}$，所以 $j > i$ 的分量根本提不出来 —— 而 $\prod_{j} I_{j}$ 上就没这个问题，每个 $j$ 可以各自跑到够高的层级。

与 AB5 的关系：AB6 = AB5 + 上面这条（AB5 管「滤过余极限正合」，AB6 再管「它与积交换」）。