预加性结构唯一

说明

证明。 记 $\Delta_{M} : M \to M \oplus M$ 是由积的泛性给出的「对角线」（$p_{k}\Delta_{M} = 1_{M}$）、$\nabla_{N} : N \oplus N \to N$ 是由余积的泛性给出的「余对角线」（$\nabla_{N}i_{k} = 1_{N}$）、$f \oplus g : M \oplus M \to N \oplus N$ 是由四个角 $p_{k}(f\oplus g)i_{l} = \delta_{kl}\,(f \text{ 或 } g)$ 刻画的映射。这三个映射只用到直和的对象、投影与含入，与任何群结构无关 ✓。 关键公式：

验证：由 $p_{k}(f\oplus g) = (\text{第} k \text{分量})p_{k}$ 得 $(f\oplus g)\Delta_{M}$ 的两个分量恰是 $f$ 与 $g$，即 $(f\oplus g)\Delta_{M} = i_{1}f + i_{2}g$；再作用 $\nabla_{N}$，用 $\nabla_{N}i_{k} = 1_{N}$ 得 $f + g$ ✓。（这一步的计算用到了群结构，但公式右边本身不依赖它。） 唯一性：既然「$f$ 与 $g$ 的和」等于一个只由范畴结构与直和写出的表达式，任何使复合双线性的群结构都必须满足同一公式，故与它逐对一致 ✓。∎

⭐ 一句话：加法范畴里的「加」不是额外数据，而是双积结构逼出来的。 这也是为什么「加法函子」可以只要求「保双积」——见「加法函子的刻画」。