零对象与直和

零对象、双积与直和

def.zero-object · 范畴论 · 零对象 · 双积 · 直和 · 加法范畴

又称零对象·zero object·双积·直和·biproduct·Definition 5.1.3·Def 5.1.3

陈述

范畴 C\mathcal{C} 里的对象 00 叫零对象，如果它既是终对象又是始对象（等价地 End⁡(0)={id}\operatorname{End}(0) = \{ \mathrm{id} \}，唯一的自同态是零）。

一族对象 (Mi)i∈I(M_{i})_{i \in I} 的双积（biproduct）是「积与余积恰好重合」的对象，记 ⨁i∈IMi\bigoplus_{i \in I} M_{i}；代数里就叫直和。

说明

零对象给出零态射：任意 X→YX \to Y 都可以经 X→0→YX \to 0 \to Y 分解，得到的态射记 0X,Y0_{X,Y}。所有「f=0f = 0」「f≠0f \ne 0」的说法都靠它。

双积为什么会重合：在预加性范畴里，积与余积只要存在就自动一致（两个泛性质能互相满足），所以可以只谈一个。M⊕NM \oplus N 的元素形式上写成 f+gf + g（从 MM 与 NN 各来一条）。

⚠️ 零对象在不一定有的范畴里可能不存在（如 Set\mathbf{Set}：空集是始对象，但终对象是单点集，两者不同）。Ab\mathbf{Ab}、A-ModA\text{-}\mathbf{Mod} 里当然是同一个 {0}\{0\}。

它指向谁（出边）

定义引用 5

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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