偏序集里的极限是交

说明

证明。 把偏序集看成范畴时，$\operatorname{Hom}(x,y)$ 至多一个元素，「锥」$c \to D$ 就退化成「$c \preceq D(i)$ 对一切 $i$」，即 $c$ 是 $D$ 的一个下界 ✓。

• 泛锥 = 下界中最大的那一个 = $\inf D$；「$\lim D$ 存在」正好就是「$\inf D$ 存在」✓。
• 对偶地（把 $\preceq$ 反向），余锥 = 上界，泛余锥 = 最小上界 = $\sup D$ ✓。
• 特例：单点图 $\inf = \sup =$ 该元素；空图给出终对象（最大元）与始对象（最小元）；两元素图给出积 $\inf\{x,y\}$ 与余积 $\sup\{x,y\}$；拉回、推出分别是下确界、上确界（因为相容条件自动满足）；而等化子：$f, g$ 若平行则 $f = g$（Hom 至多一个元素），此时等化子就是恒等 ✓。

因此完备格 $=$ 有所有小极限的偏序集；有界格 $\leftrightarrow$ 有有限极限与有限余极限 ✓。∎

⭐ 这条把整套范畴语言翻译成序语言，也是最好的入门例子：

• 积 = 下确界 $\inf\{x, y\}$；余积 = 上确界 $\sup\{x, y\}$；
• 终对象 = 最大元；始对象 = 最小元；
• 拉回（纤维积）= 两个元素的下确界；推出 = 上确界；
• 等化子：因为 Hom 至多一个元素，平行的 $f, g$ 只有「相等」或「不平行」两种，所以等化子平凡。

由此立刻得到：完备格 = 有所有小极限与小余极限的偏序集；$\mathbb{Q}$ 作为偏序集不完备（$\{q : q^{2} < 2\}$ 没有上确界）—— 这与实数完备性那条是同一件事的两种说法。