极限

它指向谁（出边）

推出 3

• 本页 ⟹ 右伴随保极限推出
  伴随 $\implies$ 右伴随保极限

  设 $F \dashv G$，$D : I \to \mathcal{D}$ 有极限。对任意 $X \in \mathcal{C}$，把伴随的同构一路用下去：

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X,\ G(\lim D)\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F(X),\ \lim D\bigr)$$

  再用 $\lim D$ 的泛性质（锥与射入极限的态射一一对应）：

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F(X),\ \lim D\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}^{I}}\bigl(\Delta F(X),\ D\bigr) \;\cong\; \varprojlim_{i} \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F(X),\ D(i)\bigr)$$

  把最后一个同构的每一项再用一次伴随：

  $$\varprojlim_{i} \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(X), D(i)) \;\cong\; \varprojlim_{i} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X,\ G D(i)\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X,\ \lim (G \circ D)\bigr)$$

  于是 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(\lim D))$ 与 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, \lim (G \circ D))$ 是同一个函子的两个表示；由米田引理（表示对象在同构意义下唯一），

  $$G(\lim D) \;\cong\; \lim (G \circ D)$$

  ∎。对偶地左伴随保余极限。

  整个证明只用了两样东西：伴随的同构与极限的泛性质。这就是为什么这条定理几乎不需要任何额外假设。

• 本页 ⟹ 伴随函子定理推出
  保极限 $\implies$ 有左伴随

  设 $\mathcal{D}$ 小且完备，$G : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 保极限。要造 $F \dashv G$。

  构造。 固定 $X \in \mathcal{C}$，考虑逗号范畴 $X \downarrow G$（对象是 $f : X \to G(Y)$）。它由 $\mathcal{D}$ 的一个小图指标化，而 $\mathcal{D}$ 完备，所以下面这个极限存在：

  $$F(X) := \varprojlim_{(Y, f) \in (X \downarrow G)} Y$$

  单位。 投影给出 $\pi_{(Y,f)} : F(X) \to Y$。特别地取 $(Y,f) = (G(Y), \cdot)$ 这一类里的项 —— 更直接地，把 $G$ 作用上去并用 $G$ 保极限：

  $$G(F(X)) = G\Bigl(\varprojlim_{(Y,f)} Y\Bigr) \cong \varprojlim_{(Y,f)} G(Y)$$

  而 $X \to G(Y)$ 这一族随 $(Y,f)$ 变动是相容的（这正是逗号范畴态射的定义），于是它们拼成一个锥，泛性给出

  $$\eta_{X} : X \longrightarrow G(F(X))$$

  伴随同构。 对任意 $Y_{0} \in \mathcal{D}$，定义

  $$\varphi : \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F(X), Y_{0}\bigr) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X,\ G(Y_{0})\bigr), \qquad \varphi \mapsto G(\varphi) \circ \eta_{X}$$

  满（造逆）。 给定 $f : X \to G(Y_{0})$，则 $(Y_{0}, f)$ 是 $X \downarrow G$ 的一个对象，于是有投影 $\pi_{(Y_{0}, f)} : F(X) \to Y_{0}$。由 $\eta_{X}$ 的构造，$G(\pi_{(Y_{0},f)}) \circ \eta_{X} = f$，所以 $\varphi(\pi_{(Y_{0},f)}) = f$。

  单。 设 $\varphi(u) = \varphi(v)$，其中 $u, v : F(X) \to Y_{0}$。要证 $u = v$。

  由 $\mathcal{D}$ 有小极限，取 $(Y_{0}, f)$ 处的投影 $\pi = \pi_{(Y_{0}, f)}$。由于 $F(X)$ 是那个极限，$u = v$ 当且仅当 $u \circ \pi = v \circ \pi$。而 $\pi$ 是 $f$ 处的那一项，$u \circ \pi$ 与 $v \circ \pi$ 都是 $F(X) \to Y_{0}$，且

  $$G(u \circ \pi) \circ \eta_{X} = G(u) \circ G(\pi) \circ \eta_{X} = G(u) \circ f = G(u) \circ \varphi(v) \circ \eta_{X}$$

  用 $\varphi$ 沿 $\eta$ 的互逆性（并用 $G$ 保极限把极限拉回去）得到 $u \circ \pi = v \circ \pi$，于是 $u = v$。

  自然性由两边各自对 $Y_{0}$ 的自然性逐项核对，略。这样 $\varphi$ 是自然同构，$F \dashv G$。∎

  （$\Longrightarrow$） 反方向就是「右伴随保极限」那条定理。∎

  这条定理是前半张图的分水岭：从「保极限」这个可检验的条件，直接造出一个左伴随。代价是要求 $\mathcal{D}$ 小且完备（否则那个极限不一定存在）。

• 本页 ⟹ Kan 延拓的两个例子推出
  Kan 延拓 $\implies$ 余极限与右伴随都是它的特例

  (1) 取 $p : I \to \mathbf{1}$ 为到终范畴的唯一函子。则预复合 $p^{*} : \mathcal{C}^{\mathbf{1}} \to \mathcal{C}^{I}$ 就是常图函子 $\Delta$。于是

  $$\operatorname{Hom}(p_{!}D,\ G) \;\cong\; \operatorname{Hom}(D,\ G \circ p) \;=\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{I}}\bigl(D,\ \Delta G(\ast)\bigr)$$

  右边正是「$D$ 到常图 $G(\ast)$ 的余锥」的集合。由余极限的泛性质（锥函子被 $\operatorname{colim} D$ 表示），能表示这个函子的只有一个对象：

  $$(p_{!}D)(\ast) \;=\; \varinjlim_{i \in I} D(i)$$

  所以 $p_{!}D$ 存在 $\iff D$ 有余极限。∎

  (2) 取 $p = F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$F$ 位置的函子取恒等函子 $1_{\mathcal{C}}$。左 Kan 延拓的泛性质给出

  $$\operatorname{Hom}(F_{!}1_{\mathcal{C}},\ G) \;\cong\; \operatorname{Hom}(1_{\mathcal{C}},\ G \circ F)$$

  右边只有「$1_{\mathcal{C}}$ 到 $G \circ F$ 的全部自然变换」一个元素（取 $1_{\mathcal{C}}$ 的像即得），所以左侧 $F_{!}1_{\mathcal{C}}$ 到每个 $G$ 的态射也恰好只有一个 —— 这正是「$F_{!}1_{\mathcal{C}}$ 是 $\operatorname{Hom}(1_{\mathcal{C}}, - \circ F)$ 的表示对象」的说法，而那个表示对象就是左伴随。记 $G = F_{!}1_{\mathcal{C}}$，同构两侧的形状恰好就是伴随的定义，对应的自然变换 $1_{\mathcal{C}} \implies G \circ F$ 就是单位 $\eta$。∎

  看完这两条，前面那些定义就串成一条线了：极限与余极限是「沿到终范畴的函子」延拓，伴随是「沿函数子本身」延拓。

定义引用 30

• Set、Top、Ab 的完备性 用到 本页定义引用

  命题说的是这些范畴里极限余极限都存在。

• 代数范畴里的极限与余极限 用到 本页定义引用

  说这些范畴里的极限余极限怎么算。

• 米田嵌入 用到 本页定义引用

  「$\delta$ 保持所有极限」里的极限是泛锥那个极限。

• 稠密性定理 用到 本页定义引用

  稠密性定理说 $T$ 是可表示预层的余极限。

• 右伴随保极限 用到 本页定义引用

  结论是 $G(\lim D) \cong \lim (G \circ D)$ —— 两边都是极限。

• 极限即伴随 用到 本页定义引用

  命题把「所有极限存在」与「$\Delta$ 有右伴随」说成一回事。

• 伴随函子定理 用到 本页定义引用

  前提的「完备」与「保极限」，以及构造 $F(X)$ 用的那个极限。

• 反射子范畴里的极限 用到 本页定义引用

  命题谈的是反射子范畴中的极限与余极限能不能落回来。

• Kan 延拓的两个例子 用到 本页定义引用

  (1) 说余极限是沿 $I \to \mathbf{1}$ 的 Kan 延拓。

• 滤过余极限正合 用到 本页定义引用

  「正合」说的是滤过余极限保持有限极限。

• 极限的函子性 用到 本页定义引用

  函子性说的是极限在图与图之间如何变化，前提是这些极限都存在。

• 拓扑斯上的层即保极限的预层 用到 本页定义引用

  「保极限」是命题的另一半。

• 截面函子保极限余极限 用到 本页定义引用

  结论说它保所有极限与余极限。

• 终对象 / 始对象 用到 本页定义引用

  终对象与始对象分别是空图上极限与余极限的特例，泛性质原样搬过来就是 $\operatorname{Hom}$ 集单点。

• 积 / 余积 用到 本页定义引用

  积是离散范畴上的极限：索引范畴里没有非恒等态射，相容性条件就自动消失了。

• 纤维积 / 纤维余积 用到 本页定义引用

  纤维积是形状为 $X_1 \to X_0 \leftarrow X_2$ 的图的极限。

• 等化子 / 余等化子 用到 本页定义引用

  等化子是平行对 $f, g : X \rightrightarrows Y$ 的极限。

• 投射有限空间 用到 本页定义引用

  投射有限空间是有限离散空间沿有向系统的极限。

• 层 用到 本页定义引用

  「$F(X) \cong \varprojlim_{Y \in \mathcal{C}/R} F(Y)$」用到了极限。

• 拓扑斯的态射 用到 本页定义引用

  要求 $f^{*}$ 正合，即保有限极限。

• 紧生成空间 用到 本页定义引用

  紧生成空间的定义是「紧 Hausdorff 空间作为指标的余极限」。

• Grothendieck 的 AB 公理 用到 本页定义引用

  AB3 及以后要求「有所有余极限」，AB3\* 是其对偶。

• 共尾函子不改变余极限 用到 本页定义引用

  结论说的是余极限同构。

• 可表函子保所有极限 用到 本页定义引用

  命题说的是可表函子保极限。

• 极限的构造 用到 本页定义引用

  命题说的是极限怎么造。

• 保极限的函子 用到 本页定义引用

  「保极限」说的是函子与极限的关系。

• 偏序集里的极限是交 用到 本页定义引用

  命题把极限翻译成序语言。

• Ab(C) 的极限 用到 本页定义引用

  命题说它有所有极限。

• 滤过 + 有限余极限 ⟹ 所有余极限 用到 本页定义引用

  结论是「有所有余极限」。

• Cond 的极限与余极限 用到 本页定义引用

  用到极限与余极限这两套概念。

谁指向它（入边）

定义引用 3

• 图与交换图 → 本页定义引用

  极限是图的极限 —— 先有图，才谈得上它的泛锥。

• 锥 → 本页定义引用

  极限的定义是「泛锥」：锥是原料，泛性质是筛选条件。

• 范畴 → 本页定义引用

  泛锥的唯一性是范畴里的唯一性，分解 $p_i \circ g = g_i$ 也是范畴里的等式。