笛卡尔积存在Cartesian product

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 截口推出
  笛卡尔积存在 $\implies$ 可以谈截口

  截口是 $X \times Y$ 的子集 $E$ 的属性，所以先要有 $X \times Y$ 这个集合本身 —— 这正是笛卡尔积存在定理给的。

定义引用 2

• 范畴 用到 本页定义引用

  复合 $\circ$ 是从 $M \times M$ 里抠出来的那部分出发的，要先有笛卡尔积。

• 积 / 余积 用到 本页定义引用

  在 $\mathbf{Set}$ 里范畴论意义下的积就是笛卡尔积 —— 同一件东西的两个名字。

类比 1

• 自然数集存在类比
  「幂集造容器 + 分离筛内容」——同一个证明模板

  这两个证明的骨架一模一样，只是塞进去的东西不同：

  $\omega$ 的构造：先用幂集公理做出 $\mathcal{P}(I)$；再从里面筛出所有归纳子集，取交。

  $A \times B$ 的构造：先用幂集公理做出 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$；再从里面筛出那些形如 (a,b) 的元素。

  共同的招：集合论里「我想造一个由某种东西组成的集合」时， 永远不能直接写 $\{ x : \varphi (x) \}$（那是罗素悖论）。正确的姿势是两步—— 先找一个确定足够大的容器，再用分离公理模式从里面挑。

  💡 看到「想造一个集合但不知道怎么下手」时，回来想想这两步。

谁指向它（入边）

推出 1

• 幂集公理、配对公理、并集公理、分离公理模式 ⟹ 本页推出
  幂集 + 配对 + 并集 + 分离公理模式 $\implies A \times B$ 存在

  任给 $A$、$B$。

  1. 由配对公理与并集公理，$A \cup B$ 是集合。
  2. 对任意 $a \in A$、$b \in B$，Kuratowski 有序对 $(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}$。其中 $\{a\} \subseteq A \cup B$，$\{a, b\} \subseteq A \cup B$，所以 $\{a\}, \{a, b\} \in \mathcal{P}(A \cup B)$，进而 $(a, b) \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$。
  3. 由幂集公理，$\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$ 是集合。用分离公理模式取

  $$C = \{ z \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)) : \exists a \in A, \exists b \in B, z = (a, b) \}$$

  则 $C$ 恰是 $A \times B$：一方面每个 (a, b) 都在 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$ 中，另一方面 $z$ 是不在 $A$、$B$ 中任意点处取到的有序对时不会被选进来。∎

  这个证明展示了一个典型套路：先用幂集「造一个足够大的容器」，再用分离公理模式「筛出真正想要的东西」。

定义引用 1

• 有序对 → 本页定义引用

  $A \times B = \{ (a, b) : a \in A, b \in B \}$ 中的元素就是有序对。