截口

截口（Section） $E_{x}$ 与 $E^{y}$

定义
依赖深度 layer 6
分析学
乘积测度与 Fubini

def.section · 定义 · 截口

又称截口·section·切片

陈述

设 $E \subseteq X \times Y$ 。对 $x \in X$ 、 $y \in Y$ 定义

E_x := \{y \in Y : (x, y) \in E\}

E^y := \{x \in X : (x, y) \in E\}

分别叫 $E$ 在 $x$ 处的纵截口与在 $y$ 处的横截口。

类似地，对函数 $f : X \times Y \to \mathbb{C}$ 定义

f_x(y) := f^y(x) := f(x, y)

说明

直观：把平面图形用一根竖线（或横线）切一刀，切出来的那条线段就是截口。

截口是 Fubini 定理的语言：重积分 $\iint f d(\mu \times \nu)$ 就是「先沿截口积一次，再把各条截口的积分对另一变量积一次」。

English draft

Translation of the statement above · machine-drafted, pending author review · the Chinese text is authoritative.

Abstract

For $E \subseteq X \times Y$ the vertical and horizontal sections are $E_x := \{y \in Y : (x,y) \in E\}$ and $E^y := \{x \in X : (x,y) \in E\}$ ; for a function $f : X \times Y \to \mathbb{C}$ one sets $f_x(y) = f^y(x) = f(x,y)$ . Geometrically, cut the picture with a line and look at what remains. Sections are the language in which Fubini is stated: integrate along the sections first, then integrate the resulting function against the other variable.

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 截口可测推出

截口的定义 $\implies$ 截口保持可测性
(a) 令 $\mathcal{R} = \{E \subseteq X \times Y : E_x \in \mathcal{N}\text{ 且} E^y \in \mathcal{M}\quad \forall(x, y) \in X \times Y\}$ 。
- $\mathcal{R}$ 含所有矩形：若 $E = A \times B$ ，则
$E_x = B\quad (x \in A), \quad E_x = \emptyset\quad (x \notin A)$
两边都在 $\mathcal{N}$ 里（ $\mathcal{N}$ 含 $\emptyset$ ）；横截口同理。
- $\mathcal{R}$ 是 $\sigma$ 代数：截口运算保持并、交、补 —— 例如 $(\bigcup_n E^{(n)})_x = \bigcup_n E^{(n)}_x$ 、 $(E^c)_x = (E_x)^c$ （这里用的是 $Y$ 在 $X \times Y$ 中的「竖条」补集）。故 $\mathcal{R}$ 对可数并与补封闭。
于是 $\mathcal{R} \supseteq \mathcal{M}($ 矩形族 $) = \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ ，(a) 得证。
(b) 设 $f$ 是 $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ 可测， $B \subseteq \mathbb{C}$ 可测。则
$f_x^{-1}(B) = \{y : f(x, y) \in B\} = (f^{-1}(B))_x$
而 $f^{-1}(B) \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ ，由 (a) 它的纵截口属于 $\mathcal{N}$ ，即 $f_x^{-1}(B) \in \mathcal{N}$ 。所以 $f_x$ 可测。横截口同理。∎

定义引用 2

截口可测用到本页定义引用

直接验证截口的运算性质。
Fubini–Tonelli 用到本页定义引用

Fubini 的整个陈述都是用截口写的。

谁指向它（入边）

推出 1

笛卡尔积存在 ⟹ 本页推出

笛卡尔积存在 $\implies$ 可以谈截口

截口是 $X \times Y$ 的子集 $E$ 的属性，所以先要有 $X \times Y$ 这个集合本身 —— 这正是笛卡尔积存在定理给的。

定义引用 3

有序对 → 本页定义引用

集合构造式 $E_x = \{ y : (x, y) \in E \}$ 里写的就是有序对 $(x, y)$ 。
映射 → 本页定义引用

截口的第二半是对函数 $f : X \times Y \to \mathbb{C}$ 定义 $f_x(y) := f(x, y)$ 。
子集 → 本页定义引用

截口 $E_x = \{ y : (x, y) \in E \}$ 是子集（ $E \subseteq X \times Y$ ）。

参考

Folland, Real Analysis, §2.5

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