可数积的 Borel 代数

说明

证明。

• $\subseteq$：投影 $\pi_{j}$ 连续，故 $\pi_{j}^{-1}(\text{开集})$ 是 $X$ 的开集（柱集），即每个 $\pi_{j}^{-1}(U_{j}) \in \mathfrak{B}_{X}$；于是生成它们的 $\sigma$代数 $\bigotimes_{j}\mathfrak{B}_{X_{j}} \subseteq \mathfrak{B}_{X}$ ✓。
• $\supseteq$（需要可分）：每个 $X_{j}$ 可分，取可数稠密集 $C_{j}$，则 $\{ B(c, r) : c \in C_{j},\ r \in \mathbb{Q}_{>0} \}$ 是 $X_{j}$ 的可数基 ✓。

$X$ 的基本开集形如 $\bigcap_{j \in F}\pi_{j}^{-1}(U_{j})$（$F$ 有限、$U_{j}$ 取基元素）；每个 $\pi_{j}^{-1}(U_{j}) \in \bigotimes_{j}\mathfrak{B}_{X_{j}}$，有限交仍在其中，而开集是基本开集之并、基又可数 $\implies$ 一切开集属于 $\bigotimes_{j}\mathfrak{B}_{X_{j}}$ $\implies$ $\mathfrak{B}_{X} \subseteq \bigotimes_{j}\mathfrak{B}_{X_{j}}$ ✓。 两边互包即得等号。∎ ⚠️ 可分性不能省：$\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$（不可数积）上，积 $\sigma$代数真包含于 Borel $\sigma$代数 —— 那些「只看可数多个坐标」的集合撑不满 Borel 结构。

$\subseteq$ 的原因很直接：投影 $\pi _{j}$ 连续，所以 $\pi _{j}^{-1}($开集) 是开集，那些柱集都在 $\mathfrak{B}_X$ 里。

反方向登场的又是「可分」：$X_{j}$ 可分时取可数稠密集 $C_{j}$，则

是 $X_{j}$ 的可数拓扑基，它已经生成 $\mathfrak{B}_\{X_{j}\}$。于是 $X$ 的拓扑基由这些基的有限积组成，仍然可数，从而 $\mathfrak{B}_X \subseteq \otimes\mathfrak{B}_\{X_{j}\}$。

⚠ 可分性不能省：$\mathbb{R}^\mathbb{R}$（不可数积）上，积 $\sigma$代数真包含于 $Borel \sigma$代数。