截口可测

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 乘积测度由截口给出推出
  单调类定理 $\implies$ 乘积测度由截口积分给出

  ① 先设 $\mu$、$\nu$ 有限。 令 $\mathcal{C} = \{E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N} : x \mapsto \nu(E_x)\text{ 可测}, y \mapsto \mu(E^y)\text{ 可测},\text{ 且} \mu\times\nu(E) = \int\nu(E_x)d\mu = \int\mu(E^y)d\nu\}$。

  ② 矩形在 $\mathcal{C}$ 里。 若 $E = A \times B$，则 $\nu(E_x) = \chi_A(x)\cdot\nu(B)$，它是可测的（指示函数 $\times$ 常数），且

  $$\int \nu(E_x) d\mu(x) = \nu(B)\cdot\mu(A) = \mu \times \nu(A \times B)$$

  ③ $\mathcal{C}$ 对递增并封闭。 若 $E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots$ 都在 $\mathcal{C}$ 中、$E = \bigcup E_n$：则 $\nu((E_n)_x) \nearrow \nu(E_x)$（测度的下连续性），由 MCT 得 $x \mapsto \nu(E_x)$ 可测且 $\int\nu(E_x)d\mu = \lim \int\nu((E_n)_x)d\mu = \lim \mu\times\nu(E_n) = \mu\times\nu(E)$。

  ④ $\mathcal{C}$ 对递减交封闭。 若 $E_1 \supseteq E_2 \supseteq \cdots$、$E = \bigcap E_n$：因为测度有限，可以用 DCT（控制函数是常数 $\nu(Y) < \infty$）得到同样的等式。

  ⑤ 用单调类定理。 由 ①②③④，$\mathcal{C}$ 是含所有矩形的一个单调类。矩形族生成的代数再由矩形构成，所以 $\mathcal{C}$ 含这个代数；由单调类定理，$\mathfrak{m}(\text{代数}) = \mathcal{M}(\text{代数}) = \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$，于是 $\mathcal{C} = \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$。

  ⑥ 推广到 $\sigma$有限。 取 $X = \bigcup_i X_i$、$Y = \bigcup_i Y_i$（各自测度有限），则 $X \times Y = \bigcup_i (X_i \times Y_i)$。对每个 $i$，把 ⑤ 用在 $E \cap (X_i \times Y_i)$ 上（这一步只用到有限测度）；再把 $i$ 加起来，用 MCT 对 $i$ 求极限即可。∎

  $>$ ⚠ $\sigma$有限正是在 ⑥ 用掉的：没有它，就没法把无穷测度的空间切成可数块有限块。

谁指向它（入边）

推出 1

• 截口 ⟹ 本页推出
  截口的定义 $\implies$ 截口保持可测性

  (a) 令 $\mathcal{R} = \{E \subseteq X \times Y : E_x \in \mathcal{N}\text{ 且} E^y \in \mathcal{M}\quad \forall(x, y) \in X \times Y\}$。

  • $\mathcal{R}$ 含所有矩形：若 $E = A \times B$，则

  $$E_x = B\quad (x \in A), \quad E_x = \emptyset\quad (x \notin A)$$

  两边都在 $\mathcal{N}$ 里（$\mathcal{N}$ 含 $\emptyset$）；横截口同理。

  • $\mathcal{R}$ 是 $\sigma$代数：截口运算保持并、交、补 —— 例如 $(\bigcup_n E^{(n)})_x = \bigcup_n E^{(n)}_x$、$(E^c)_x = (E_x)^c$（这里用的是 $Y$ 在 $X \times Y$ 中的「竖条」补集）。故 $\mathcal{R}$ 对可数并与补封闭。

  于是 $\mathcal{R} \supseteq \mathcal{M}($矩形族$) = \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$，(a) 得证。

  (b) 设 $f$ 是 $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$可测，$B \subseteq \mathbb{C}$ 可测。则

  $$f_x^{-1}(B) = \{y : f(x, y) \in B\} = (f^{-1}(B))_x$$

  而 $f^{-1}(B) \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$，由 (a) 它的纵截口属于 $\mathcal{N}$，即 $f_x^{-1}(B) \in \mathcal{N}$。所以 $f_x$ 可测。横截口同理。∎

定义引用 3

• 截口 → 本页定义引用

  直接验证截口的运算性质。

• 可测函数 → 本页定义引用

  (b) 说的正是「可测函数的截口仍可测」。

• 积 σ-代数 → 本页定义引用

  前提 $E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ 里的 $\otimes$ 就是积 $\sigma$-代数。