乘积测度由截口给出

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ Fubini–Tonelli推出
  集合版（截口公式）+ MCT $\implies$ Tonelli

  ① 指示函数。 取 $f = \chi_E$（$E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$）。此时

  $$\int_Y f(x, y) d\nu(y) = \nu(E_x), \quad \int_X f(x, y) d\mu(x) = \mu(E^y)$$

  于是三重等式正是上一条定理的内容。

  ② 简单函数。 由线性推广到 $f = \sum_j a_j \chi_{E_j}$（$a_j \ge 0$，$E_{j}$ 不交）。

  ③ 非负可测函数。 取简单函数列 $\{f_n\} \nearrow f$（简单函数逼近定理）。令

  $$g_n(x) = \int f_n(x, y) d\nu(y), \quad g(x) = \int f(x, y) d\nu(y)$$

  由 $f_n \uparrow f$ 与积分的单调性，$\{g_n\}$ 递增；由 MCT，$g = \lim_n g_n$ 且

  $$\int g d\mu = \lim_n \int g_n d\mu$$

  再由 ② 对每个 $n$ 的三重等式，

  $$\int g_n d\mu = \int f_n d(\mu \times \nu)$$

  于是

  $$\int_X ( \int_Y f d\nu ) d\mu = \lim_n \int f_n d(\mu \times \nu) = \int f d(\mu \times \nu)$$

  （最后一步又用一次 MCT。）另一边对称。这就是 Tonelli，全程不需要可积性。

  ④ Fubini。 设 $f \in L^1(\mu \times \nu)$。把 $f$ 拆成 $\operatorname{Re} f^+, \operatorname{Re} f^-, \operatorname{Im} f^+, \operatorname{Im} f^-$ 四个非负部分，对每一部分用 ③。由

  $$\int |f| d(\mu \times \nu) < \infty$$

  和 ③ 的三重等式，得到 $\int_X (\int_Y |f| d\nu) d\mu < \infty$，故 $\int_Y |f(x, \cdot)| d\nu < \infty$ 对 a.e. $x$ 成立 —— 即 $f_x \in L^1(\nu)$ a.e.；同理 $f^y \in L^1(\mu)$ a.e.。既然两个累次积分都已经是有限数，就可以直接相减、不再有 $\infty - \infty$ 的危险，三重等式对 $f$ 成立。∎

  $>$ ⭐ 分工很干净：Tonelli 负责非负（无条件），Fubini 用「可积」把四个非负部分的结论拼起来。

谁指向它（入边）

推出 1

• 单调类定理、截口可测 ⟹ 本页推出
  单调类定理 $\implies$ 乘积测度由截口积分给出

  ① 先设 $\mu$、$\nu$ 有限。 令 $\mathcal{C} = \{E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N} : x \mapsto \nu(E_x)\text{ 可测}, y \mapsto \mu(E^y)\text{ 可测},\text{ 且} \mu\times\nu(E) = \int\nu(E_x)d\mu = \int\mu(E^y)d\nu\}$。

  ② 矩形在 $\mathcal{C}$ 里。 若 $E = A \times B$，则 $\nu(E_x) = \chi_A(x)\cdot\nu(B)$，它是可测的（指示函数 $\times$ 常数），且

  $$\int \nu(E_x) d\mu(x) = \nu(B)\cdot\mu(A) = \mu \times \nu(A \times B)$$

  ③ $\mathcal{C}$ 对递增并封闭。 若 $E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots$ 都在 $\mathcal{C}$ 中、$E = \bigcup E_n$：则 $\nu((E_n)_x) \nearrow \nu(E_x)$（测度的下连续性），由 MCT 得 $x \mapsto \nu(E_x)$ 可测且 $\int\nu(E_x)d\mu = \lim \int\nu((E_n)_x)d\mu = \lim \mu\times\nu(E_n) = \mu\times\nu(E)$。

  ④ $\mathcal{C}$ 对递减交封闭。 若 $E_1 \supseteq E_2 \supseteq \cdots$、$E = \bigcap E_n$：因为测度有限，可以用 DCT（控制函数是常数 $\nu(Y) < \infty$）得到同样的等式。

  ⑤ 用单调类定理。 由 ①②③④，$\mathcal{C}$ 是含所有矩形的一个单调类。矩形族生成的代数再由矩形构成，所以 $\mathcal{C}$ 含这个代数；由单调类定理，$\mathfrak{m}(\text{代数}) = \mathcal{M}(\text{代数}) = \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$，于是 $\mathcal{C} = \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$。

  ⑥ 推广到 $\sigma$有限。 取 $X = \bigcup_i X_i$、$Y = \bigcup_i Y_i$（各自测度有限），则 $X \times Y = \bigcup_i (X_i \times Y_i)$。对每个 $i$，把 ⑤ 用在 $E \cap (X_i \times Y_i)$ 上（这一步只用到有限测度）；再把 $i$ 加起来，用 MCT 对 $i$ 求极限即可。∎

  $>$ ⚠ $\sigma$有限正是在 ⑥ 用掉的：没有它，就没法把无穷测度的空间切成可数块有限块。

定义引用 2

• 单调类 → 本页定义引用

  截口公式的证明走的正是单调类定理：先验证矩形成立，再说明「满足它的集合」构成一个单调类。

• 乘积测度 → 本页定义引用

  定理算的就是乘积测度。