单调类定理

说明

这一条是「标准版 + 加强版」合起来的那一个版本。

标准版（Halmos §6 / Folland 2.37）：$\mathcal{A}$ 是代数 $\implies \mathfrak{m}(\mathcal{A}) = \mathcal{M}(\mathcal{A})$。

上面陈述的是加强版：把「$\mathcal{E}$ 是代数」换成两条更弱的条件——$\mathcal{E}$ 中集合的补与并落进 $\mathfrak{m}(\mathcal{E})$ 就行。证明仍是单调类定理那三步：

① 令 $\mathcal{K}_{1} = \{A \in \mathfrak{m} : A^{c} \in \mathfrak{m}\}$。它含 $\mathcal{E}$（第一条条件），且本身是单调类（$\mathfrak{m}$ 单调 $\implies$ 极限仍在 $\mathfrak{m}$；补用一次递减极限）$\implies \mathcal{K}_{1} = \mathfrak{m}$，即 $\mathfrak{m}$ 对补封闭。

② 固定 $A \in \mathcal{E}$，令 $\mathcal{K}_{2} = \{B \in \mathfrak{m} : A \cup B \in \mathfrak{m}\}$。由第二条条件 $\mathcal{K}_{2} \supseteq \mathcal{E} \implies \mathcal{K}_{2} = \mathfrak{m}$。

③ 固定 $B \in \mathfrak{m}$，令 $\mathcal{K}_{3} = \{A \in \mathfrak{m} : A \cup B \in \mathfrak{m}\}$。由 ② 知 $\mathcal{K}_{3} \supseteq \mathcal{E} \implies \mathcal{K}_{3} = \mathfrak{m}$，即 $\mathfrak{m}$ 对并封闭。

于是 $\mathfrak{m}$ 对 $\cup$ 与补封闭、又是单调类 $\implies \mathfrak{m}$ 是一个 $\sigma$代数 $\implies \mathcal{M}(\mathcal{E}) \subseteq \mathfrak{m}(\mathcal{E})$；反向恒成立，两边相等。（需 $\mathcal{E} \ne \emptyset$，否则 $\mathfrak{m}(\mathcal{E}) = \{\emptyset \}$。）

⚠ 把 $\cup$ 换成 $\cap$ 或 $\setminus$ 结论同样成立 —— 有了补封闭，几种封闭性互相推得出来，所以这一处的符号并不影响定理对不对。

用法（不论哪个版本都一样）：要证某个性质对 $\mathcal{M}(\mathcal{E})$ 中所有集合成立，只需（$i$）证明它对 $\mathcal{E}$ 成立，（ii）证明「成立」这件事被递增并、递减交保持 —— 于是成立的集合构成一个含 $\mathcal{E}$ 的单调类，它 $\supseteq \mathfrak{m}(\mathcal{E}) = \mathcal{M}(\mathcal{E})$。测度扩张的唯一性、乘积测度的截口公式、可测函数的逼近，用的都是这个模式。

⚠ 与「环 $\to \sigma$环 的判据」是姊妹结果：那条说环 $+$ 单调 $\implies \sigma$环，这条说代数 $\implies$ 单调类与 $\sigma$代数重合。