环与代数

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 环 → σ-环 的判据推出
  环 + 单调类 $\implies$ σ-环

  设 $\mathfrak{A}$ 是环，且是单调类。要证它对可数并封闭。

  ① 先换成不交并。 给定 $A_{1}, A_{2}$ … $\in \mathfrak{A}$，令

  $$B_n = A_n \setminus (A_1 \cup \cdots \cup A_{n-1})$$

  因为 $\mathfrak{A}$ 是环（对有限并、对差封闭），每个 $B_{n} \in \mathfrak{A}$；而且 $B_{n}$ 两两不交，并且 $\bigcup B_{n} = \bigcup A_{n}$。所以只需证 $\mathfrak{A}$ 对可数不交并封闭。

  ② 用单调性。 若 $B_{n}$ 两两不交，则部分并 $C_n = B_1 \cup \cdots \cup B_n$ 是递增列，且 $C_{n} \in \mathfrak{A}$（环对有限并封闭）。由 $\mathfrak{A}$ 是单调类，

  $$\bigcup_n C_n = \bigcup_n B_n = \bigcup_n A_n \in \mathfrak{A}$$

  故 $\mathfrak{A}$ 是可数并封闭的 $\sigma$环。反向（$\sigma$环 $\implies$ 单调类）明显，因为递增并、递减交都是可数并/交的特例。∎

  这条定理把「$\sigma$」这件事等价地翻译成了「对两种单调极限封闭」，单调类定理正是靠它工作的。

定义引用 4

• 集合族的基本性质 用到 本页定义引用

  性质 (2)(3) 是在环 / 代数 $/ \sigma$代数的定义上做的。

• 环 → σ-环 的判据 用到 本页定义引用

  定理的前提与结论都用了「环 $/ \sigma$环」的定义。

• σ-环 用到 本页定义引用

  $\sigma$环就是把「环」里的有限并升级成可数并，其余（对差封闭）照旧。

• 预测度 用到 本页定义引用

  预测度的定义域只是一个环，不必是 $\sigma$ 代数。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 子集 → 本页定义引用

  同理，环与代数也是 $\mathcal{P}(X)$ 的一族子集。