子集

两个运算都用 $\subseteq$ 说事（$A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$）。

$A \setminus B \subseteq A$；「含全集 $X$」也是子集关系。

幂集的元素就是子集：$A \in \mathcal{P}(X) \iff A \subseteq X$。

「开集是 $X$ 的子集」「$\mathcal{T}$ 作为集合族」都是子集关系。

$Y \subseteq X$ —— 先有子集，才谈得上它上面的子空间拓扑。

分离公理模式给出的 $B = \{ x \in A : \varphi (x, p) \}$ 恰好是 $A$ 的一个子集——"只从 $A$ 里挑元素"正是 $\subseteq$ 的语义。

幂集公理的陈述里直接出现了子集符号：$x \in \mathcal{P}(A) \iff x \subseteq A$。

「$X$ 的每个有限子集都属于 $\mathcal{A}$」——有限特征是靠子集概念说出来的。

关系是 $A \times B$ 的子集，定义域 $\operatorname{dom} R$ 与值域 $\operatorname{ran} R$ 也都是子集。

链是 $P$ 的子集，只是额外要求两两可比。

上界与极大元都是相对于 $S \subseteq P$ 说的，条件用 $\preceq$ 写成。

「$W$ 的每个非空子集都有最小元」——良序性是靠子集量词说出来的。

「$S$ 的每个有限子集都线性无关」——线性无关性是逐有限子集定义的。

$\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{P}(X)$：基本类首先是一族子集。

同理，环与代数也是 $\mathcal{P}(X)$ 的一族子集。

单调类同样是 $\mathcal{P}(X)$ 的一族子集。

外测度定义在全体子集上：$\mu^* : \mathcal{P}(X) \to [0, +\infty]$。

截口 $E_x = \{ y : (x, y) \in E \}$ 是子集（$E \subseteq X \times Y$）。

第一条是 $E_r \subseteq B(r, x)$——一个子集关系。

$M \times_{s,t} M = \{ (f,g) \in M \times M : s(f) = t(g) \}$ 是 $M \times M$ 的一个子集。

子集最常用的那条性质——$A = B \iff A \subseteq B \wedge B \subseteq A$（两边互包）——正是外延公理的直接推论。