并集与交集

并集 / 交集（Union & Intersection）

def.union-inter · 定义 · 集合运算

又称并集·交集·union·intersection

陈述

设 $\mathcal{A}$ 是一族集合（ $A$ 的并与交是它只有两个成员时的特例）：

\bigcup \mathcal{A} := \{ x : \exists A \in \mathcal{A},\ x \in A \}

\bigcap \mathcal{A} := \{ x : \forall A \in \mathcal{A},\ x \in A \}

两个集合的情形记作 $A \cup B$ 、 $A \cap B$ ；可数族的并、交常记作 $\bigcup_{n} A_n$ 、 $\bigcap_{n} A_n$ 。

显然 $A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$ 。

由并集公理， $\bigcup \mathcal{A}$ 是集合； $\bigcap \mathcal{A}$ 由分离公理模式取出。

⭐ 「对可数并封闭」「对可数交封闭」是整段测度论反复出现的条件（ $\sigma$ -环、 $\sigma$ -代数、单调类都是这么定义的）。

⚠ 分配律对任意族都成立： $A \cap \bigcup_i B_i = \bigcup_i (A \cap B_i)$ ；补与并、交的交换就是 De Morgan 律。

Grothendieck 宇宙用到本页定义引用

第四条 $\bigcup_{t \in p} f(t) \in U$ 用的是并集（指标集是 $U$ 里的一个集合，所以这里要的是「沿一个集合取并」）。

子集 → 本页定义引用

两个运算都用 $\subseteq$ 说事（ $A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$ ）。
空集 ∅ → 本页定义引用

$\bigcap \emptyset$ 要注意：它必须相对某个全集才有意义 —— 空集的出现方式常常是这种边角。