空集 ∅

空集（Empty Set）

def.empty · 定义 · 空集

又称空集·empty set·null set 集合论

陈述

空集是不含任何元素的集合，记作 ∅\emptyset：

∅:={x:x≠x}\emptyset := \{ x : x \ne x \}

「x≠xx \ne x」对任何 xx 都不成立，所以这个集合里一个元素也没有。它是语言里就给出的原始对象，与外延公理、一阶语言同级。

于是对一切集合 AA：∅⊆A\emptyset \subseteq A（空泛真），且 ∅\emptyset 是 ⊆\subseteq 的最小元。

说明

⭐「∅∈A\emptyset \in \mathcal{A}」「∅∉F\emptyset \notin F」这类条件在测度论里到处都是（选择公理要求集合族里没有空集；μ(∅)=0\mu(\emptyset) = 0 是测度的第一条）。

⚠ 外延公理给的是「至多一个」；真正「存在」的那一半是分开来的，见「空集存在」。

⚠ 区分 ∅\emptyset 与 {∅}\{\emptyset\}：后者含一个元素（那个元素是空集），所以 {∅}≠∅\{\emptyset\} \ne \emptyset。 ⚠ ∅⊆A\emptyset \subseteq A 是空泛真（vacuously true）：没有任何 x∈∅x \in \emptyset 需要检查。

它指向谁（出边）

定义引用 3

参考

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