幂集 𝒫(X)

幂集（Power Set）

def.power-set · 定义 · 幂集

又称幂集·power set

陈述

设 $X$ 是集合。 $X$ 的幂集是「 $X$ 的全部子集」装成的集合：

\mathcal{P}(X) := \{ A : A \subseteq X \}

于是 $A \in \mathcal{P}(X) \iff A \subseteq X$ ，且 $\mathcal{P}(X)$ 自己的元素都是集合。

由幂集公理， $\mathcal{P}(X)$ 确实是集合；由外延公理它唯一。

有限情形的元素个数： $|X| = n \implies |\mathcal{P}(X)| = 2^{n}$ （每个元素「取或不取」）。

⭐ 幂集是「把性质变成对象」的那一步：想谈「 $X$ 的所有子集」这件事本身（而不是逐个谈），就得有幂集。 $\mathcal{P}(X)$ 同时是几个重要构造的舞台：

外测度定义在全体子集上： $\mu^* : \mathcal{P}(X) \to [0, +\infty]$ ；
环、 $\sigma$ -代数、单调类都是 $\mathcal{P}(X)$ 的某一族子集；
生成的 $\sigma$ -代数取的就是「一切包含 $\mathcal{E}$ 的 $\sigma$ -代数之交」，而 $\mathcal{P}(X)$ 保证这个交不空。

⚠ $\emptyset \in \mathcal{P}(X)$ 且 $X \in \mathcal{P}(X)$ 对一切 $X$ 成立 —— 幂集从来不是空的。

Cantor 定理用到本页定义引用

定理讲的就是 $A$ 与它的幂集的大小关系。
生成的 σ-代数用到本页定义引用

「 $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 」「一切包含 $\mathcal{E}$ 的 $\sigma$ -代数之交」都要在幂集里取。
外测度用到本页定义引用

外测度定义在全体子集上： $\mu^* : \mathcal{P}(X) \to [0, +\infty]$ 。
拓扑空间与开集用到本页定义引用

拓扑是幂集的一族子集： $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 。
外测度用到本页定义引用

定义域是幂集 $\mathcal{P}(X)$ —— 不是某个 $\sigma$ -代数。
Grothendieck 宇宙用到本页定义引用

宇宙的第三条要求 $x \in U \implies \mathcal{P}(x) \in U$ ，用的就是幂集。

子集 → 本页定义引用

幂集的元素就是子集： $A \in \mathcal{P}(X) \iff A \subseteq X$ 。
幂集公理 → 本页定义引用

幂集公理才是「 $\mathcal{P}(X)$ 是一个集合」的依据 —— 陈述里那句「由幂集公理， $\mathcal{P}(X)$ 确实是集合」说的就是它。