Grothendieck 宇宙

Grothendieck 宇宙（Grothendieck Universe）

定义
依赖深度 layer 4
范畴论
范畴与图

def.universe · 范畴论 · 大与小 · 集合论

又称Grothendieck 宇宙·universe·大范畴·小范畴

陈述

一个集合 $U$ 叫宇宙，如果它对集合论的基本构造封闭：

（传递） $x \in u \in U \implies x \in U$ ；
$x, y \in U \implies \{ x, y \} \in U$ ；
$x \in U \implies \mathcal{P}(x) \in U$ ；
对任意 $p \in U$ 与任意 $f : p \to U$ ，有 $\bigcup_{t \in p} f(t) \in U$ 。

若 $U$ 含有无穷集，则 $\mathbb{N} \in U$ 。

说明

宇宙存在是一条额外的公理（Grothendieck 公理），不在 ZFC 里。

它的用处是给「大」与「小」一个相对的标准： $U$ 里的东西叫小， $U$ 本身叫大。 $\mathbf{Set}$ 、 $\mathbf{Grp}$ 这些范畴的对象全体不构成集合，但相对于一个宇宙它们都是小的 —— 「小范畴」这个词背后就是这件事。

封装的四条足够把常见构造全搬进 $U$ ：由 2 取 $x = y$ 得单点集，再取一次得有序对 $\{ \{x\}, \{x,y\} \}$ ；由 3、4 得笛卡尔积（ $A \times B \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B))$ ）与函数集。

谁指向它（入边）

定义引用 2

幂集 𝒫(X) → 本页定义引用

宇宙的第三条要求 $x \in U \implies \mathcal{P}(x) \in U$ ，用的就是幂集。
并集与交集 → 本页定义引用

第四条 $\bigcup_{t \in p} f(t) \in U$ 用的是并集（指标集是 $U$ 里的一个集合，所以这里要的是「沿一个集合取并」）。

参考

SGA 4, I.0

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