同构的截面与收缩唯一

说明

证明。 设 $f : X \to Y$ 是同构，记 $g := f^{-1}$。

• 存在：$g f = 1_{X}$ 且 $f g = 1_{Y}$，故 $g$ 既是 $f$ 的截面（$f g = 1_{Y}$）又是收缩（$g f = 1_{X}$）✓。
• 截面唯一：设 $s : Y\to X$ 满足 $f s = 1_{Y}$，则 $s = 1_{X}\,s = (g f)\,s = g\,(f s) = g\,1_{Y} = g$ ✓。
• 收缩唯一：设 $r : X \to Y$ 满足 $r f = 1_{X}$，则 $r = r\,1_{X} = r\,(f g) = (r f)\,g = 1_{X}\,g = g$ ✓。

两件事并起来：截面与收缩都存在、都唯一，且都等于 $f^{-1}$ ✓。∎