局部化的 Hom 是滤过余极限

说明

证明。 沿用分式的写法：$\operatorname{Hom}_{\mathrm{ho}}(X, Y)$ 的元素是分式 $X \xleftarrow{w} X' \xrightarrow{f} Y$（$w \in W$）在等价关系下的类。

• 做成余极限：记 $J$ 是以 $(w : X'-\!\!\to X) \in W$ 为对象、以「$v : X''-\!\!\to X'$ 且 $wv \in W$」为态射的范畴，则

的元素正是「在某个 $X'$ 上取一个 $f$，两个代表元在更小的 $X''$ 上相同就算同一个」—— 与分式的等价关系逐条对齐 ✓。

• $J$ 是滤过的：给两个对象 $w_{1} : X_{1}\to X$、$w_{2} : X_{2}\to X$，由 Ore 条件 2（把 $w_{2}$ 提到 $w_{1}$ 前面）得到 $X''$ 同时映到 $X_{1}$ 与 $X_{2}$，且两条复合都在 $W$ 里 —— 这就是余锥 ✓；两个平行态射的等化同样由 Ore 条件给出 ✓。
• 于是该余极限是滤过余极限，且它就是 $\operatorname{Hom}_{\mathrm{ho}}(X,Y)$ ✓。

于是局部化的 Hom「原则上无从下手」，在分式演算成立时变成一个可以计算的滤过余极限 ✓。∎

⭐ 把「形式添加的逆」变成具体的余极限。 局部化的态射本来是「向右走一步、向左倒一步」的锯齿链，一般没法直接算；右分式演算保证了可以通分：找一个大一点的 $X'$ 把几条链对齐，于是所有态射都可以看成「先在 $X'$ 上走一步、再倒回 $X$」，也就是 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X', Y)$ 里的一个元素。

为什么是余极限：不同的 $X' \to X$ 给的是同一族态射的不同「表示」，取余极限正是「把这些表示粘起来」；而 Ore 条件保证这些 $X' \to X$ 组成的指标范畴是滤过的（任意两个都能被第三个同时压住），所以这个余极限是滤过余极限 —— 行为良好。

⭐ 实用价值：这一条把局部化的 Hom 集合算成原范畴里已知东西的滤过余极限。导出范畴 $D(\mathcal{A})$ 里算 $\operatorname{Hom}$ 就是从这一步开始的。

⚠️ 没有分式演算时余极限一般不对 —— 那时 $\mathrm{ho}(\mathcal{C})$ 的 Hom 可能连集合都不是。