预序集就是「Hom 至多一元」的小范畴

命题：预序集 ↪\hookrightarrow 小范畴，且与其有序商等价

prop.preorder-as-category · 命题 · 预序集 · 小范畴 · 全忠实 · 范畴等价

又称Exercise 1.15·Exercise 1.18

陈述

  1. 把预序集看成小范畴（x≤yx \le y 给唯一态射）给出一个全忠实函子，其本质像恰是「每对对象之间至多一个态射」的小范畴；
  2. 预序集 XX 与它的有序商 YY（把 x≤y≤xx \le y \le x 粘起来）是等价的范畴。

说明

证明。 (1) 两个预序集之间的函子就是保序映射 ✓，而 Hom 集至多一个元素让忠实与满自动成立 ✓。(2) 商映射 X→YX \to Y 保序 ✓；在每个等价类里选一个代表，给出反方向函子 Y→XY \to X ✓；两个复合都是恒等（在 YY 上）或与恒等自然同构（在 XX 上，x≤x \le 代表 ≤x\le x）✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

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