范畴等价

它指向谁（出边）

定义引用 4

• 等价函子的判据 用到 本页定义引用

  定理要刻画的就是「范畴等价」这条定义。

• 预序集就是「Hom 至多一元」的小范畴 用到 本页定义引用

  第二条结论是范畴等价。

• 自然同构不改变函子的性质 用到 本页定义引用

  等价性在自然同构下不变。

• Pontryagin–van Kampen 对偶 用到 本页定义引用

  结论是「自等价」。

谁指向它（入边）

推出 1

• 忠实 / 满 / 全忠实、本质满 ⟹ 本页推出
  全忠实 $+$ 本质满 $\implies$ 范畴等价

  （$\Longleftarrow$） 设 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'$ 全忠实且本质满，要造出 $G$ 与自然同构。

  本质满给出：对每个 $X' \in \mathcal{C}'$ 都能挑一个 $A \in \mathcal{C}$ 与同构 $\eta_{X'} : F(A) \to X'$。用选择公理把这些选择一次做完，定义 $G(X') = A$。

  再定义 $G$ 在态射上的作用。给定 $f' : X' \to Y'$，先把它拉回到 $G(X')$ 与 $G(Y')$ 之间：

  $$g = \eta_{Y'}^{-1} \circ f' \circ \eta_{X'} : F(G(X')) \to F(G(Y'))$$

  由 $F$ 全忠实，$\operatorname{Hom}(G(X'), G(Y')) \to \operatorname{Hom}(F G(X'), F G(Y'))$ 是双射，所以存在唯一的 $G(f')$ 使 $F(G(f')) = g$。这个唯一性是关键：它让 $G$ 自动保持复合与单位（两边都取 $F$ 之后相等，再用忠实性拉回来）。于是 $G$ 是函子，且 $\eta : F \circ G \implies 1_{\mathcal{C}'}$ 是自然同构。

  另一半 $G \circ F \cong 1_{\mathcal{C}}$ 同法：令 $\theta = F^{-1}(\eta_{F(\cdot)})$，交换性由 $F$ 保持复合、而 $F^{-1}$ 也跟着保持交换图逐块验证。∎

  （$\Longrightarrow$） 设 $F$ 是等价，取 $G$ 与自然同构 $\beta : G \circ F \implies 1_{\mathcal{C}}$。

  忠实：设 $f, g : A \to B$ 且 $F(f) = F(g)$。$\beta$ 的自然是说下面两个方块交换：

  $$\beta_B \circ G F(f) = f \circ \beta_A, \qquad \beta_B \circ G F(g) = g \circ \beta_A$$

  左边两式相等（因为 $F(f) = F(g)$），于是 $f \circ \beta_A = g \circ \beta_A$；$\beta_A$ 可逆，两边右乘 $\beta_A^{-1}$ 得 $f = g$。

  满：设 $h : F(A) \to F(B)$。先把 $h$ 沿 $G$ 送过去，再用 $\beta$ 接回来，得到 $\mathcal{C}$ 中的态射

  $$f = \beta_B \circ G(h) \circ \beta_A^{-1} : A \to B$$

  由 $\beta$ 的交换性，$G F(f) = G(h)$；再用 $F$ 保持复合，把两边送回 $F(A) \to F(B)$：$F(f) = h$。

  本质满见「定义」处的注解：等价的两个范畴之间对象差一个同构，这正是 $F$ 本质满。∎

  这条把「范畴等价」这件看起来要靠造函子的事，换成了两个可以逐点检查的条件：Hom 集上双射 + 对象层差一个同构。实际用的时候几乎都走这一条。

定义引用 2

• 函子 → 本页定义引用

  范畴等价是函子的一条性质 —— 先有函子，才谈得上它是不是等价。

• 自然变换 → 本页定义引用

  等价要求两个复合自然同构于恒等函子，这个「$\cong$」只有靠自然变换才说得出来。