等价函子的判据

说明

证明。 $(\Longleftarrow)$ 设 $F$ 全忠实、本质满。对每个 $X' \in \mathcal{C}'$ 选一个 $G(X') \in \mathcal{C}$ 与一个同构

（本质满给出存在性，选择公理给出这一族的选择）✓。 对 $f' : X' \to Y'$，令 $G(f') : G(X') \to G(Y')$ 是唯一使

的态射 —— $F$ 全忠实，这样的态射存在且唯一 ✓。这样定义的 $G$ 保恒等与复合（两边都过了 $F$，再全忠实即得）✓，所以 $G$ 是函子。 由构造，$\varphi : F \circ G \implies 1_{\mathcal{C}'}$ 是自然同构 ✓。另一侧：每个 $X$ 处 $\varphi_{F(X)}^{-1} : F(X) \to F\bigl(GF(X)\bigr)$ 在全忠实之下来自唯一的 $\psi_{X} : X \to GF(X)$，而 $\psi$ 自然（自然性同样过 $F$ 检验，由 $\varphi$ 的自然性得到）✓，于是 $\psi : 1_{\mathcal{C}} \implies G \circ F$ 也是自然同构 ✓。 $(\Longrightarrow)$ 设 $F$ 有伪逆 $G$，即 $F G \cong 1_{\mathcal{C}'}$、$G F \cong 1_{\mathcal{C}}$。

• 本质满：$X' \cong F\bigl(G(X')\bigr)$ ✓；
• 全忠实：$\operatorname{Hom}(X, Y) \xrightarrow{\ F\ } \operatorname{Hom}(FX, FY)$ 的逆由

给出（最后一步用 $GF \cong 1_{\mathcal{C}}$ 的自然性）✓。∎

⭐ 这条把「两个范畴一样」这件含糊的事换成两条可以逐项检查的判据：Hom 集上是双射（全忠实）、像覆盖到同构（本质满）。

⚠️ 两条缺一不可：全忠实但不本质满的函子（例如 $\mathbf{Set}$ 里单点满子范畴的含入）不是等价；本质满但不忠实的函子也不是。