全忠实函子本质单射

说明

证明。 给同构 $u : F(X) \to F(Y)$。由全忠实，$u$ 唯一地来自某个 $f : X \to Y$，$u^{-1}$ 唯一地来自某个 $g : Y \to X$ ✓。于是 $F(g f) = u^{-1} u = 1_{F(X)} = F(1_{X})$ ✓，再由全忠实（忠实）得 $g f = 1_{X}$ ✓；对称地 $f g = 1_{Y}$ ✓。∎

⚠️ 反过来不对：本质单射的函子未必全忠实。