函子

说明

两条要求合起来就是一句话：函子把整个范畴的结构原样搬过去 —— 单位还是单位，复合还是复合，连结合律都不用再验（它自动跟着走）。

例：

• 遗忘函子 $\mathbf{Top} \to \mathbf{Set}$：$(X, \tau) \mapsto X$，连续映射当作普通映射。拓扑被丢掉，所以叫「遗忘」。同理 $\mathbf{Ab} \to \mathbf{Set}$、$\mathbf{Grp} \to \mathbf{Mon}$（含入）。
• $\mathbf{Set} \to \mathbf{Top}$ 有两种：$X \mapsto (X, \mathcal{P}(X))$（离散拓扑）与 $X \mapsto (X, \{ \emptyset, X \})$（平凡拓扑）。两者都对，因为从离散空间射出、射入平凡空间的映射总是连续的。
• 自由构造 $\mathbf{Set} \to \mathbf{Ab}$：$X \mapsto \bigoplus_X \mathbb{Z}$；$\mathbf{Set} \to \mathbf{Grp}$：$X \mapsto \langle x, x^{-1} \mid x \in X \rangle$。
• 交换化 $\mathbf{Grp} \to \mathbf{Ab}$：$G \mapsto G / [G, G]$。
• 群化 $\mathbf{Mon} \to \mathbf{Grp}$：$M \mapsto M^{gr} = \langle x_g \ (g \in M) \mid x_g x_h = x_{gh} \rangle$。
• $\mathbf{Top}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Cat}$：$(X, \tau) \mapsto \operatorname{Open}(X)$。反变，因为开集越少映射越多。