米田引理

它指向谁（出边）

推出 4

• 本页 ⟹ 表示的两个定义等价推出
  米田引理 $\implies$ 表示的两个定义等价

  （$\Longleftarrow$） 设 $h^{X} \cong F$，取一个自然同构 $\alpha : h^{X} \implies F$。由米田引理，$\alpha$ 由元素 $s = \alpha_{X}(1_{X}) \in F(X)$ 决定；反过来，给定 $s$ 也能定义出 $\alpha$。

  要证 $(X, s)$ 万有。固定 $Y$，则由 $\alpha$ 是自然同构，$\alpha_{Y} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \to F(Y)$ 是双射。对任意 $t \in F(Y)$，记 $f = \alpha_{Y}^{-1}(t)$，即 $\alpha_{Y}(f) = t$。

  再用 $\alpha$ 的自然性（取 $f : X \to Y$）：

  $$\alpha_{Y}(f) = F(f)\bigl(\alpha_{X}(1_{X})\bigr) = F(f)(s)$$

  于是 $F(f)(s) = t$，且 $f$ 由 $\alpha_{Y}^{-1}$ 唯一确定。这就是万有元素的条件。∎

  （$\Longrightarrow$） 反过来设 $(X, s)$ 万有。对每个 $Y$ 定义

  $$\alpha_{Y} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \to F(Y), \qquad f \mapsto F(f)(s)$$

  万有性说的正是「对每个 $t \in F(Y)$ 存在唯一 $f$ 使 $F(f)(s) = t$」，所以每个 $\alpha_{Y}$ 都是双射。剩下要检查的只有自然性：对 $g : Y \to Z$，两个复合 $\alpha_{Z} \circ \operatorname{Hom}(X, g)$ 与 $F(g) \circ \alpha_{Y}$ 都把那片 $f : X \to Y$ 送到 $F(g \circ f)(s)$，所以相等。于是 $\alpha : h^{X} \implies F$ 是自然同构，$h^{X} \cong F$。∎

  这条的意义在于：要证明一个函子可表示，只要找到那个万有元素，同构自动就有了。

• 本页 ⟹ 米田嵌入推出
  米田引理 $\implies$ 米田嵌入全忠实、保极限

  全忠实。 取预层的对偶形式（把 $\mathcal{C}$ 换成 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$）：对 $T = h_{Y}$ 与 $X \in \mathcal{C}$ 有

  $$\operatorname{Hom}_{\widehat{\mathcal{C}}}(h_{X}, h_{Y}) \cong h_{Y}(X) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$$

  这恰是 $\delta$ 在 Hom 集上诱导的映射，所以它逐对是双射，$\delta$ 全忠实。∎

  保持所有极限。 设 $D : I \to \mathcal{C}$ 有极限。$\widehat{\mathcal{C}}$ 是函子范畴，其中的极限逐点计算，于是对每个 $Z \in \mathcal{C}$，

  $$\Bigl(\varprojlim_{i} h_{D(i)}\Bigr)(Z) = \varprojlim_{i} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Z, D(i)) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\Bigl(Z, \varprojlim_{i} D(i)\Bigr) = h_{\lim D}(Z)$$

  中间那一步是「协变 $\operatorname{Hom}(Z, -)$ 保持极限」。逐点同构即同构，所以 $\delta(\lim D) \cong \lim \delta \circ D$。∎

  两个结论同出一源：$h_{X}$ 到别处的箭头，就是 $X$ 处的元素。

• 本页 ⟹ 稠密性定理推出
  米田引理 $\implies$ 稠密性定理

  对每个 $(X, s) \in \mathcal{C}_{T}$，由 $s \in T(X)$ 与米田引理的对偶形式，有唯一对应的自然变换

  $$\alpha^{s} : h_{X} \implies T, \qquad \alpha^{s}_{Y} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, X) \to T(Y),\quad \psi \mapsto T(\psi)(s)$$

  切片范畴里的态射恰好是让这些 $\alpha^{s}$ 彼此相容的那些 $f$，所以 $\{\alpha^{s}\}_{(X,s)}$ 构成一个余锥，诱导出

  $$\Theta : \varinjlim_{(X, s) \in \mathcal{C}_{T}} h_{X} \longrightarrow T$$

  要证 $\Theta$ 是同构。逐点检验：对 $Y \in \mathcal{C}$，

  $$\Bigl(\varinjlim_{(X,s)} h_{X}\Bigr)(Y) = \varinjlim_{(X,s)} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, X) \longrightarrow T(Y)$$

  而右边这个集合正是「以 $(X, s)$ 为指标、把每个 $\psi : Y \to X$ 送到 $T(\psi)(s) \in T(Y)$」的余极限。取 $(X, s) = (Y, t)$ 与 $\psi = 1_{Y}$，这一项的像就是 $t$ 本身；反过来，自然性 $T(\psi)(s) \in T(Y)$ 说明每一项都已经落在 $T(Y)$ 里。于是对每个 $t \in T(Y)$ 都有来源，且不同的 $t$ 给出不同的项 —— 逐点双射。∎

  把这条和米田引理并排看：米田说「$h_{X}$ 到 $T$ 的箭头 = $T$ 在 $X$ 处的元素」，稠密性把它反过来用 —— 既然元素就是箭头，那么全部元素（即 $\mathcal{C}_{T}$）就决定了 $T$ 自己。

• 本页 ⟹ 预层态射的单满按点检验推出
  米田引理 $\implies$ 单态射逐点检验

  只需做（$\Longrightarrow$）方向。设 $\varphi : T \implies T'$ 是单态射，固定 $X$，设 $a, b \in T(X)$ 且 $\varphi_{X}(a) = \varphi_{X}(b)$。

  由米田引理的对偶形式，$a, b$ 各自对应一个自然变换 $f, g : h_{X} \implies T$，即在每个 $Y$ 处

  $$f_{Y}, g_{Y} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, X) \to T(Y), \qquad \psi \mapsto T(\psi)(a) \ \text{或}\ T(\psi)(b)$$

  对任意 $\psi : Y \to X$，用 $\varphi$ 的自然性：

  $$(\varphi \circ f)_{Y}(\psi) = \varphi_{Y}\bigl(T(\psi)(a)\bigr) = T'(\psi)\bigl(\varphi_{X}(a)\bigr) = T'(\psi)\bigl(\varphi_{X}(b)\bigr) = (\varphi \circ g)_{Y}(\psi)$$

  所以 $\varphi \circ f = \varphi \circ g$。又 $\varphi$ 是单态射，左可消，得 $f = g$。最后取 $Y = X$ 与 $\psi = 1_{X}$，就是 $a = b$。∎

  满态射的情形对偶（把范畴换成 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$）。∎

  这里能看到米田引理的典型用法：要把「元素层」的问题搬到「箭头层」，就先让元素变成 $h_{X}$ 到 $T$ 的箭头。

定义引用 1

• 万有元素唯一到唯一同构 用到 本页定义引用

  唯一性由米田引理给出。

谁指向它（入边）

定义引用 3

• 表示函子 → 本页定义引用

  引理里的 $h^{X} = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, -)$ 正是那个可表示函子。

• 自然变换 → 本页定义引用

  引理数的是 $h^{X}$ 到 $F$ 的自然变换全体。

• 函子 → 本页定义引用

  引理对任意函子 $F : \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ 成立。