可表函子保所有极限

说明

证明。 先证 $h^{X} = \operatorname{Hom}(X, -)$ 保极限。取 $D : I \to \mathcal{C}$，链式：

第一式是极限的定义（$\lim D$ 表示锥函子：$\operatorname{Hom}(\Delta Y, D) \cong \operatorname{Hom}(Y, \lim D)$，取 $Y = X$）；第二式是「函子范畴里的极限逐点算」。这里 $\underline{\{0\}}$ 是取值恒为 $\{0\}$ 的常函子（在函子范畴 $\mathcal{C}^{I}$ 里它才是 $\operatorname{Hom}$ 的合法对象）。∎

再由 $F \cong \operatorname{Hom}(X,-)$，同构的函子保的东西一样，$F$ 也保所有极限。

一批立刻的推论：

• 反变可表函子 $\operatorname{Hom}(-, X)$ 把余极限变成极限（取对偶范畴即得）；
• $\operatorname{Hom}(X, -)$ 保有限极限这一点，就是说 $X$ 与一切有限极限「相容」。

说一个函子 left exact（左正合），指它保所有有限极限 —— 所以右正合就是保所有有限余极限，「正合」是两者都对。