ind-可表示即左正合

命题： $T$ ind-可表示 $\iff$ $\mathcal{C}/T$ 滤过 $\iff$ $T$ 左正合

命题
依赖深度 layer 14
范畴论
预层与米田

prop.ind-representable-iff-left-exact · 命题 · ind-可表示 · 滤过 · 左正合 · 预层

又称Exercise 3.8

陈述

预层 $T \in \widehat{\mathcal{C}}$ 的三条说法等价：

$T$ 是 ind-可表示的（可表示为滤过的可表示预层余极限）；
切片范畴 $\mathcal{C}/T$ 是滤过的；
$T$ 左正合（保有限极限）。

说明

证明。 (2) $\iff$ (1)： $T = \varinjlim_{X \to T} h_{X}$ 总是成立（元素范畴的余极限给出 $T$ ）✓，而它落在可表示预层上、指标范畴正是 $\mathcal{C}/T$ ✓，所以「可表示为滤过余极限」与「 $\mathcal{C}/T$ 滤过」是同一句话 ✓。(1) $\iff$ (3)：滤过余极限保有限极限 ✓，可表示预层左正合 ✓，于是余极限也左正合；反过来左正合的预层由它自己的元素范畴给出的表达是滤过的 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 2

Ind-对象 → 本页定义引用

ind-可表示用的就是 Ind-对象。
正合函子 → 本页定义引用

第三条说的是左正合。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 3.8

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