预层态射的单满按点检验

谁指向它（入边）

推出 1

• 米田引理 ⟹ 本页推出
  米田引理 $\implies$ 单态射逐点检验

  只需做（$\Longrightarrow$）方向。设 $\varphi : T \implies T'$ 是单态射，固定 $X$，设 $a, b \in T(X)$ 且 $\varphi_{X}(a) = \varphi_{X}(b)$。

  由米田引理的对偶形式，$a, b$ 各自对应一个自然变换 $f, g : h_{X} \implies T$，即在每个 $Y$ 处

  $$f_{Y}, g_{Y} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, X) \to T(Y), \qquad \psi \mapsto T(\psi)(a) \ \text{或}\ T(\psi)(b)$$

  对任意 $\psi : Y \to X$，用 $\varphi$ 的自然性：

  $$(\varphi \circ f)_{Y}(\psi) = \varphi_{Y}\bigl(T(\psi)(a)\bigr) = T'(\psi)\bigl(\varphi_{X}(a)\bigr) = T'(\psi)\bigl(\varphi_{X}(b)\bigr) = (\varphi \circ g)_{Y}(\psi)$$

  所以 $\varphi \circ f = \varphi \circ g$。又 $\varphi$ 是单态射，左可消，得 $f = g$。最后取 $Y = X$ 与 $\psi = 1_{X}$，就是 $a = b$。∎

  满态射的情形对偶（把范畴换成 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$）。∎

  这里能看到米田引理的典型用法：要把「元素层」的问题搬到「箭头层」，就先让元素变成 $h_{X}$ 到 $T$ 的箭头。

定义引用 2

• 单态射 / 满态射 / 同构 → 本页定义引用

  结论说的「$\varphi$ 是单态射（满态射）」是范畴论意义下的可消性，不是逐点单射 —— 逐点单射正是要证的内容。

• 预层 → 本页定义引用

  被检验的 $\varphi : T \implies T'$ 是预层之间的自然变换。