米田嵌入

它指向谁（出边）

类比 1

• 紧 Haus 是反射子范畴类比
  米田嵌入与 Stone–Čech 紧化：都是「嵌进一个大得多的世界」

  两件事在数学上没有谁推出谁（一个是范畴嵌入，一个是拓扑紧化），但招数是同一个： 手上这个对象缺东西，就先把它嵌进一个大环境，在那里把活干完，再回到原地。

  米田嵌入：$\mathcal{C} \hookrightarrow \widehat{\mathcal{C}}$。 $\mathcal{C}$ 里可能连两个对象的积都没有；$\widehat{\mathcal{C}}$ 里什么极限余极限都有。 所以在 $\mathcal{C}$ 里造不出来的东西，搬到 $\widehat{\mathcal{C}}$ 里造（稠密性定理就是把它拆成 $h_{X}$ 的余极限）。

  Stone–Čech 紧化：$X \hookrightarrow \beta X$。 $X$ 可能不紧、不 Hausdorff，连连续函数都少得可怜； $\beta X$ 里紧 Hausdorff 的一切好性质都有（Tychonoff 方块给的）。 所以在 $X$ 上做不到的分析，搬到 $\beta X$ 上做（凝聚态集就是拿 $\beta X$ 当探针）。

  共同的招：不要在原环境里硬造；先找（或造）一个「什么都不缺」的大环境，嵌进去，干完再拉回来。 💡 卡在「这个范畴 / 这个空间里根本没有我要的那个东西」时，回来想想这两条。

谁指向它（入边）

推出 1

• 米田引理 ⟹ 本页推出
  米田引理 $\implies$ 米田嵌入全忠实、保极限

  全忠实。 取预层的对偶形式（把 $\mathcal{C}$ 换成 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$）：对 $T = h_{Y}$ 与 $X \in \mathcal{C}$ 有

  $$\operatorname{Hom}_{\widehat{\mathcal{C}}}(h_{X}, h_{Y}) \cong h_{Y}(X) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$$

  这恰是 $\delta$ 在 Hom 集上诱导的映射，所以它逐对是双射，$\delta$ 全忠实。∎

  保持所有极限。 设 $D : I \to \mathcal{C}$ 有极限。$\widehat{\mathcal{C}}$ 是函子范畴，其中的极限逐点计算，于是对每个 $Z \in \mathcal{C}$，

  $$\Bigl(\varprojlim_{i} h_{D(i)}\Bigr)(Z) = \varprojlim_{i} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Z, D(i)) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\Bigl(Z, \varprojlim_{i} D(i)\Bigr) = h_{\lim D}(Z)$$

  中间那一步是「协变 $\operatorname{Hom}(Z, -)$ 保持极限」。逐点同构即同构，所以 $\delta(\lim D) \cong \lim \delta \circ D$。∎

  两个结论同出一源：$h_{X}$ 到别处的箭头，就是 $X$ 处的元素。

定义引用 3

• 极限 → 本页定义引用

  「$\delta$ 保持所有极限」里的极限是泛锥那个极限。

• 忠实 / 满 / 全忠实 → 本页定义引用

  「$\delta$ 是全忠实函子」用的正是忠实与满的定义。

• 自然变换 → 本页定义引用

  全忠实说的是自然变换集 $\operatorname{Hom}_{\widehat{\mathcal{C}}}(h_{X}, h_{Y})$ 与 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ 的双射。