忠实 / 满 / 全忠实

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ 范畴等价推出
  全忠实 $+$ 本质满 $\implies$ 范畴等价

  （$\Longleftarrow$） 设 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'$ 全忠实且本质满，要造出 $G$ 与自然同构。

  本质满给出：对每个 $X' \in \mathcal{C}'$ 都能挑一个 $A \in \mathcal{C}$ 与同构 $\eta_{X'} : F(A) \to X'$。用选择公理把这些选择一次做完，定义 $G(X') = A$。

  再定义 $G$ 在态射上的作用。给定 $f' : X' \to Y'$，先把它拉回到 $G(X')$ 与 $G(Y')$ 之间：

  $$g = \eta_{Y'}^{-1} \circ f' \circ \eta_{X'} : F(G(X')) \to F(G(Y'))$$

  由 $F$ 全忠实，$\operatorname{Hom}(G(X'), G(Y')) \to \operatorname{Hom}(F G(X'), F G(Y'))$ 是双射，所以存在唯一的 $G(f')$ 使 $F(G(f')) = g$。这个唯一性是关键：它让 $G$ 自动保持复合与单位（两边都取 $F$ 之后相等，再用忠实性拉回来）。于是 $G$ 是函子，且 $\eta : F \circ G \implies 1_{\mathcal{C}'}$ 是自然同构。

  另一半 $G \circ F \cong 1_{\mathcal{C}}$ 同法：令 $\theta = F^{-1}(\eta_{F(\cdot)})$，交换性由 $F$ 保持复合、而 $F^{-1}$ 也跟着保持交换图逐块验证。∎

  （$\Longrightarrow$） 设 $F$ 是等价，取 $G$ 与自然同构 $\beta : G \circ F \implies 1_{\mathcal{C}}$。

  忠实：设 $f, g : A \to B$ 且 $F(f) = F(g)$。$\beta$ 的自然是说下面两个方块交换：

  $$\beta_B \circ G F(f) = f \circ \beta_A, \qquad \beta_B \circ G F(g) = g \circ \beta_A$$

  左边两式相等（因为 $F(f) = F(g)$），于是 $f \circ \beta_A = g \circ \beta_A$；$\beta_A$ 可逆，两边右乘 $\beta_A^{-1}$ 得 $f = g$。

  满：设 $h : F(A) \to F(B)$。先把 $h$ 沿 $G$ 送过去，再用 $\beta$ 接回来，得到 $\mathcal{C}$ 中的态射

  $$f = \beta_B \circ G(h) \circ \beta_A^{-1} : A \to B$$

  由 $\beta$ 的交换性，$G F(f) = G(h)$；再用 $F$ 保持复合，把两边送回 $F(A) \to F(B)$：$F(f) = h$。

  本质满见「定义」处的注解：等价的两个范畴之间对象差一个同构，这正是 $F$ 本质满。∎

  这条把「范畴等价」这件看起来要靠造函子的事，换成了两个可以逐点检查的条件：Hom 集上双射 + 对象层差一个同构。实际用的时候几乎都走这一条。

• 本页 ⟹ 全忠实与单位推出
  单位同构 $\implies$ 左伴随全忠实

  设 $F \dashv G$。对 $X, Y \in \mathcal{C}$，串起伴随的同构：

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \xrightarrow{\ F\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F(X), F(Y)\bigr) \xrightarrow{\ \Phi_{X, F(Y)}\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X, G F(Y)\bigr)$$

  第二个箭头是双射，且复合把 $f$ 送到 $G F(f) \circ \eta_{X}$（这是 $\Phi$ 的显式公式）。所以第一个箭头（即 $F$ 在 Hom 集上的作用）是双射当且仅当

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \xrightarrow{\ \eta_{X} \ \circ\, -\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X, G F(Y)\bigr)$$

  是双射，当且仅当 $\eta_{X}$ 是同构（取 $Y$ 使 $GF(Y)$ 覆盖所需的目标即可）。

  $X$ 任意，所以 $F$ 全忠实 $\iff$ 每个 $\eta_{X}$ 是同构，即 $\eta$ 是自然同构。∎

  对偶地（把整个论证在 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D}^{\mathrm{op}}$ 上重做，或直接交换 $F, G$ 与 $\eta, \varepsilon$ 的角色）得到 $G$ 全忠实 $\iff \varepsilon$ 是同构。∎

  把「函子在 Hom 集上双双是双射」这件事，换成了「一个自然变换处处可逆」—— 后者的检查量小得多。

定义引用 7

• 等价函子的判据 用到 本页定义引用

  判据的一半是「全忠实」。

• 全忠实函子本质单射 用到 本页定义引用

  命题的假设就是全忠实。

• 遗忘函子忠实但不满 用到 本页定义引用

  判定的是忠实与满。

• 米田嵌入 用到 本页定义引用

  「$\delta$ 是全忠实函子」用的正是忠实与满的定义。

• 全忠实与单位 用到 本页定义引用

  「$F$ 全忠实」用的是忠实与满的定义。

• 反射子范畴 用到 本页定义引用

  反射说的是满子范畴，「满」正是函子全忠实里的一半。

• 生成元集 用到 本页定义引用

  生成元集的定义就是「拼起来那个函子忠实」。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 函子 → 本页定义引用

  忠实与满说的是函子在 $\operatorname{Hom}$ 集上诱导的那个映射的性质。