生成元集

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ Giraud 定理推出
  Giraud 定理的证明

  (2) $\implies$ (3)。 取 $\mathcal{C} = \mathcal{T}$，配上 $\mathcal{T}$ 上的标准拓扑。此时层范畴就是 $\mathcal{T}$ 自己（因为标准拓扑下的层恰好是可表示的那些），于是 $\mathcal{T} \simeq \widehat{\mathcal{C}}$。∎

  (3) $\implies$ (4)。 预层范畴 $\widehat{\mathcal{C}}$ 是拓扑斯，而层范畴是它的反射子范畴，反射（层化）保有限极限 —— 这正是 (4) 的形式。∎

  (4) $\implies$ (1)。 设 $\mathcal{T}$ 是 $\widehat{\mathcal{C}}$ 的反射子范畴，反射 $\sharp$ 正合。$\widehat{\mathcal{C}}$ 是拓扑斯，其中「有限极限 / 余积 / 等价关系」都是逐点算的、性质都好。反射子范畴对极限封闭（含入函子是右伴随），反射保有限极限与余极限，两份合起来把拓扑斯的四条公理逐一运到 $\mathcal{T}$ 上：有限极限来自含入函子，余积与商来自「先在大范畴里算、再反射回去」，小生成元集取那些可表示预层的层化。∎

  (1) $\implies$ (2)。 给 $\mathcal{T}$ 配标准拓扑。要证每个层都可表示。任取层 $F$。

  设 $S$ 是 $\mathcal{T}$ 的小生成元集。由 $S$ 生成，可以造出满态射

  $$\coprod_{i \in I} X_{i} \longrightarrow F, \qquad X_{i} \in \mathcal{T}$$

  （把每个 $X \in S$ 到 $F$ 的态射全体拼起来，生成性保证这族箭头合起来是满的。）每个 $X_{i}$ 作为可表示层是可表示的；再由 $F$ 是层，$X_{i} \times_{F} X_{j}$ 也在 $\mathcal{T}$ 里因而是可表示的。

  于是前提全部满足，下降引理给出 $F$ 可表示 —— 具体地 $F \cong X/R$，其中 $X = \coprod_{i} X_{i}$、$R = \coprod_{i,j} X_{i} \times_{F} X_{j}$。∎

  四条里最不平凡的一步是 $(1) \implies (2)$：把一个抽象拓扑斯里的任意层，用小生成元集造一个覆盖，再用下降引理把「可表示」从覆盖的每一块传回整体。

定义引用 6

• 生成元的余积刻画 用到 本页定义引用

  命题给出生成元的等价刻画。

• 生成元给出阿贝尔层的生成元 用到 本页定义引用

  两边的「生成元」都按这条定义读。

• CondAb 由有限表现投射对象生成 用到 本页定义引用

  命题说的是 $\mathrm{CondAb}$ 由谁生成。

• 拓扑斯上的阿贝尔群是 Grothendieck 范畴 用到 本页定义引用

  小生成元集取 $\{\mathbb{Z}\cdot X : X \in S\}$，$S$ 是 $\mathcal{T}$ 的生成元集。

• 拓扑斯 用到 本页定义引用

  第 1 条要求存在小生成元集。

• Grothendieck 范畴 用到 本页定义引用

  Grothendieck 范畴 = AB5 范畴加一个生成元。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 忠实 / 满 / 全忠实 → 本页定义引用

  生成元集的定义就是「拼起来那个函子忠实」。