拓扑斯上的阿贝尔群是 Grothendieck 范畴

$\mathcal{T}(\mathbf{Ab})$ 是 Grothendieck 范畴

定理
依赖深度 layer 19
同调代数
阿贝尔层

thm.topos-abelian-grothendieck · 同调代数 · 拓扑斯 · Grothendieck 范畴

又称拓扑斯上的阿贝尔群·Ab(T) 是 Grothendieck 范畴·Theorem 5.3.2

陈述

若 $\mathcal{T}$ 是拓扑斯，则 $\mathcal{T}$ 上的阿贝尔层所成范畴 $\mathcal{T}(\mathbf{Ab})$ 是 Grothendieck 范畴：它有小的生成元集、有所有余极限、且滤过余极限正合。

说明

证明分三段：

阿贝尔：先在预层范畴 $\widehat{\mathcal{C}}(\mathbf{Ab})$ 里逐分量验证（那里就是逐点的阿贝尔群）—— 具体的，对任意态射 $u$ 验证 $\operatorname{coker}(\ker u) \cong \ker(\operatorname{coker} u)$ ；再沿正合反射（层化）把这些等式运回层范畴。滤过余极限正合同理。
所有极限与余极限存在：因为层范畴是预层范畴的反射子范畴。
小生成元集：若 $S$ 是 $\mathcal{T}$ 的小生成元集，则 $\{\mathbb{Z}\cdot X : X \in S\}$ 生成 $\mathcal{T}(\mathbf{Ab})$ —— 它们的余积就是生成元。

顺带一条： $\mathbb{Z}\cdot X$ 在 $\mathcal{T}(\mathbf{Ab})$ 里投射（先看预层： $M \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}\cdot h_{X}, M) \cong M(X)$ 在预层上是正合的）。

English draft

Translation of the statement above · machine-drafted, pending author review · the Chinese text is authoritative.

Abstract

For a topos $\mathcal{T}$ , the category $\mathcal{T}(\mathbf{Ab})$ of abelian group objects in sheaves is a Grothendieck category: abelian, with a small set of generators, all colimits, and filtered colimits exact. Abelianness is checked componentwise in the presheaf category and transported along the exact sheafification reflection; limits and colimits exist by that reflection; and if $S$ generates $\mathcal{T}$ then $\{\mathbb{Z}\cdot X : X \in S\}$ generates $\mathcal{T}(\mathbf{Ab})$ . Those generators are moreover projective.

谁指向它（入边）

定义引用 5

拓扑斯 → 本页定义引用

定理对拓扑斯 $\mathcal{T}$ 上的阿贝尔层说话。
阿贝尔层 → 本页定义引用

$\mathcal{T}(\mathbf{Ab})$ 就是 $\mathcal{T}$ 上的阿贝尔层范畴。
Grothendieck 范畴 → 本页定义引用

结论是「 $\mathcal{T}(\mathbf{Ab})$ 是 Grothendieck 范畴」。
生成元集 → 本页定义引用

小生成元集取 $\{\mathbb{Z}\cdot X : X \in S\}$ ， $S$ 是 $\mathcal{T}$ 的生成元集。
加法 / 阿贝尔范畴 → 本页定义引用

结论的一部分是「 $\mathcal{T}(\mathbf{Ab})$ 是阿贝尔范畴」。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.3

常见问法 1 条

拓扑斯上的阿贝尔群是什么范畴也看阿贝尔层、Grothendieck 范畴

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