自由的预层是投射的

说明

证明。 投射性等价于 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}\cdot T, -)$ 正合 ✓。由自由对象的万有性质，$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}\cdot T, M) \cong M(T)$ —— 这里的 $M(T)$ 指「预层的 $T$ 处取值」那一族逐点取值 ✓；而预层范畴里的正合性是逐点判的，逐点正是阿贝尔群之间的 Hom，因而是正合的 ✓。∎

⭐ 这就是「自由即投射」在层论里的样子，也是 $\mathbb{Z}\cdot X_{\bullet}$ 能充当投射消解的依据。