内 Hom

内 Hom（Internal Hom）

def.internal-hom · 同调代数 · 拓扑斯 · 内 Hom

又称内 Hom·internal hom·Hom(X,M)·内层·内部 Hom·Exercise 3.43·Proposition 3.3.7·Proposition 6.1.8·Exercise 5.21·Exercise 5.23·Exercise 5.30·Exercise 3.44

陈述

设 T\mathcal{T} 是拓扑斯，X∈TX \in \mathcal{T}、M∈T(Ab)M \in \mathcal{T}(\mathbf{Ab})。则

Hom⁡(X,M):Y⟼Hom⁡(X×Y, M)  ≅  Hom⁡Z(Z⋅(X×Y), M)\operatorname{Hom}(X, M) : Y \longmapsto \operatorname{Hom}(X \times Y,\ M) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z}\cdot(X \times Y),\ M\bigr)

是 T\mathcal{T} 上的一个阿贝尔层，叫 MM 在 XX 处的内 Hom。

又对 M,N∈T(Ab)M, N \in \mathcal{T}(\mathbf{Ab})，预层 X↦Hom⁡Z(M, Hom⁡(X,N))X \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(M,\ \operatorname{Hom}(X, N)\bigr) 是可表示的；表示对象记 Hom⁡Z(M,N)∈T(Ab)\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, N) \in \mathcal{T}(\mathbf{Ab})。

说明

于是有自然同构

Hom⁡Z(M, Hom⁡(X,N))  ≅  Hom⁡(X, Hom⁡Z(M,N))  ≅  Hom⁡Z(M,N)(X)\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(M,\ \operatorname{Hom}(X, N)\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}\bigl(X,\ \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, N)\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, N)(X)

「可表示」这一步只用到一个事实：那个预层保所有极限（于是由表示函子的判据，它有表示对象）。

两条推论：Hom⁡Z(M,N)=Hom⁡Z(M,N)(1)\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, N) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, N)(\mathbf{1}) —— 也就是说 T(Ab)\mathcal{T}(\mathbf{Ab}) 富集在自己上面；以及 Hom⁡Z(Z⋅X,M)≅Hom⁡(X,M)\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}\cdot X, M) \cong \operatorname{Hom}(X, M)。

内 Hom 在预层范畴里算与在层范畴里算结果一样：Hom⁡C^(Ab)(M,N)=Hom⁡C~(Ab)(M,N)\operatorname{Hom}_{\widehat{\mathcal{C}}(\mathbf{Ab})}(M,N) = \operatorname{Hom}_{\widetilde{\mathcal{C}}(\mathbf{Ab})}(M,N)。

它指向谁（出边）

定义引用 7

谁指向它（入边）

定义引用 3

参考

常见问法 3 条

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