连续同态与内部 Hom

$C_{\mathbb{Z}}(M,N) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M,N)$ （ $M$ 紧生成）

命题
依赖深度 layer 18
凝聚态数学
拓扑阿贝尔群

prop.continuous-hom-condensed · 凝聚态 · 连续同态 · 内 Hom · 紧生成

又称Proposition 6.2.2·Prop 6.2.2·连续同态是内部 Hom

陈述

若 $M, N$ 是两个拓扑阿贝尔群、且 $M$ 紧生成，则存在凝聚态阿贝尔群的自然同构 $C_{\mathbb{Z}}(M, N) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, N)$ 。

说明

证明。 记左边的凝聚态阿贝尔群为 $S \mapsto C(S, C_{\mathbb{Z}}(M,N))$ 。对紧 Hausdorff 的 $S$ ，两边逐项算：

右边：

\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\underline{M},\underline{N})(S) = \operatorname{Hom}\bigl(S, \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\underline{M},\underline{N})\bigr) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\underline{M},\ \operatorname{Hom}(S, \underline{N})\bigr) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\underline{M},\ C(S, N)\bigr) = C_{\mathbb{Z}}\bigl(M,\ C(S,N)\bigr),

第二步是 $(S, -)$ 与内部 Hom 的伴随，最后一步用「 $M$ 紧生成时 $\underline{M}$ 是全忠实嵌入」（上一条）；

左边： $C_{\mathbb{Z}}(M,N)(S) = \operatorname{Hom}\bigl(S, C_{\mathbb{Z}}(M,N)\bigr) = C\bigl(S,\ C_{\mathbb{Z}}(M,N)\bigr)$ ；
两端之间由指数律（紧生成 / 局部紧下成立）搭桥：

C\bigl(M,\ C(S,N)\bigr) \cong C(M\times S,\ N) \cong C\bigl(S,\ C(M,N)\bigr).

三条串起来就是所要的自然同构（同态条件在指数律下逐点对应）。∎ ⭐ 前提「 $M$ 紧生成」的作用：只有这时 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\underline{M}, -)$ 才真的量的是「连续同态」；一般拓扑阿贝尔群上，凝聚态 Hom 比连续同态多（可以「逐块拼」出连续而整体不连续的东西）。

谁指向它（入边）

定义引用 2

拓扑阿贝尔群 → 本页定义引用

命题说的是两个拓扑阿贝尔群的连续同态。
内 Hom → 本页定义引用

结论是凝聚态阿贝尔群的内部 Hom。

参考

Le Stum, Proposition 6.2.2

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