拓扑阿贝尔群

说明

⭐ 为什么用 $C_{\mathbb{Z}}$ 这个记号：$\mathbb{Z}$ 提醒你这些是 $\mathbb{Z}$-模（也就是阿贝尔群）的同态，不是随便的连续映射。

与内部 Hom 的关系：$M$ 紧生成时 $C_{\mathbb{Z}}(M, N) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, N)$ —— 见下一条命题。（这是「测试够了」的又一个红利。）

⚠️ 两个容易掉进去的坑（专门点出来）：

• $\underline{M} \mapsto M$ 那条通道没有明显的伴随，因为函子 $X \mapsto X(\bullet)$（取底拓扑空间）不保积；
• 就算 $M$ 是拓扑阿贝尔群，$kM$ 一般也不是拓扑阿贝尔群 —— 因为紧生成空间对（拓扑空间的）积不封闭。