群

说明

⭐ 格式还是「集合 + 运算 + 公理」：群不是凭空的对象 —— 一个集合、一个函数、三条等式就定出了一个群。判别一个东西是不是群，就是逐条核对这些等式。

单位元与逆元是唯一的：若 $e, e'$ 都是单位元，则 $e = e e' = e'$；若 $a^{-1}, a'$ 都是 $a$ 的逆，则 $a' = a' e = a' a a^{-1} = e a^{-1} = a^{-1}$。所以「$e$」与「$a^{-1}$」这两个记号合法。

例子与反例：$(\mathbb{Z}, +)$ 是阿贝尔群；$(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)$ 是阿贝尔群；$(\mathbb{Z}, \cdot)$ 不是群（只有 $\pm 1$ 有乘法逆元）；$n \times n$ 可逆矩阵在乘法下是群但不阿贝尔（$n \ge 2$）。

📌 还有一层更弱的：只要求结合律与单位元、不要求逆元，叫幺半群。（$\mathbb{N}$ 在加法下就是幺半群不是群。）