张量积对双线性映射万有

命题： $\operatorname{Bil}(M \times N,\ P) \cong \operatorname{Hom}(M \otimes N,\ P)$

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又称Exercise 1.21

陈述

张量积 $M \otimes_{\mathbb{Z}} N$ （resp. $M \otimes_{k} N$ ）对 $\mathbb{Z}$ -双线性（resp. $k$ -双线性）映射万有：

\operatorname{Bil}_{\mathbb{Z}}(M \times N,\ P) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(M \otimes_{\mathbb{Z}} N,\ P\bigr),

左边的双线性映射与右边的群同态一一对应。

证明。 先造自由模上的张量积：取 $\mathbb{Z}\cdot(M \times N)$ （自由阿贝尔群），商掉「双线性关系」

(m + m', n) \sim (m, n) + (m', n), \quad (m, n + n') \sim (m, n) + (m, n'), \quad (am, n) \sim a(m,n) \sim (m, an) ✓

一般模由自由模商出（取表现）✓，商上的张量积就是商 ✓。这时 $M \times N \to M \otimes N$ 双线性 ✓，任何双线性映射 $M \times N \to P$ 唯一地穿过它 ✓ —— 这正是万有性质 ✓。∎