域

说明

⭐ 格式是「集合 + 运算 + 公理」：域不是凭空的对象 —— 一个集合、两个函数、几条等式就定出了一个域。判别一个东西是不是域，就是逐条核对这些等式。注意上面三条把「群」的两条公理组直接引用过来了：域的定义是在群的定义之上再加一层，不是重新数一遍等式。

已经造好的例子：

• $\mathbb{Q}$（有理数）：最顺手的域；
• $\mathbb{R}$（实数）：由 Cauchy 列造出来之后，再验证它满足这些等式（见「$\mathbb{R}$ 是完备有序域」）；
• $\mathbb{Z}$ 不是域：$2$ 在里面没有乘法逆元；$\mathbb{N}$ 也不是：$1 - 2$ 没有意义。

⚠ 「域」（field）与测度论里的「环」不是一回事：那里的环是集合环，指对有限并与差封闭的集族，同名不同物。