映射

截口的第二半是对函数 $f : X \times Y \to \mathbb{C}$ 定义 $f_x(y) := f(x, y)$。

单射、满射、双射都是函数的性质。

像 $f(A)$ 与原像 $f^{-1}(B)$ 都预设 $f$ 是映射。

商拓扑是先有一个满射 $\pi : X \twoheadrightarrow Y$，再反过来给 $Y$ 装拓扑。

「数列」就是函数 $\omega \to \mathbb{Q}$；下标、子列都是函数语言。

两个运算就是两个函数 $F \times F \to F$（定义域那一步先要用「笛卡尔积」把 $F \times F$ 造出来）。

函数就是取值在数集的那种映射 —— 先把「映射」定下来，才谈得上挑出其中一类叫函数。

选择函数首先是一个函数：定义里直接要求「$f$ 是函数，$\operatorname{dom} f = F$」。

距离 $d : X \times X \to [0, +\infty)$ 是一个函数，记号 $d(x, y)$ 用的就是函数值。

投影 $\pi_\alpha$ 是函数，柱集 $\pi_\alpha^{-1}(E_\alpha)$ 用的是逆像。

可测性的载体是函数 $f : X \to Y$ —— 先有函数，才谈得上「每个可测集的原像可测」。

起点映射与终点映射 $s, t : E \to V$ 是两个函数。

图的态射是一对函数 $(\varphi_1, \varphi_2)$，再加上两条交换性等式。

函子在对象层与态射层各给一个函数。

$\Delta$ 的态射是单调映射 $[n] \to [m]$，面映射与退化映射是两类基本映射（跳过一点 / 重复一点）。

锥是一族态射 $p_i : X \to D(i)$，族的底层是一个以 $I$ 的对象为定义域的函数。

元素范畴的对象是 $(Y, t)$，$t \in F(Y)$；把 $F$ 看成函数之后「元素」才有意义。

万有条件里的 $\exists! f : X \to Y$ 与 $F(f)(s) = t$ 都是函数层的话。

伴随的同构逐对对象给一个双射，其底层是函数。

逗号范畴的对象是 $(Y, f)$，其中 $f : X \to G(Y)$ 是一个映射。

群运算是 $G \times G \to G$，一个函数。

函数是特殊的关系：只多要求「每个输入的输出唯一」。