Cauchy 列与零列

有理 Cauchy 列 / 零列 / 等价（Cauchy & Null Sequences）

定义
依赖深度 layer 11
集合论
分析学
数系的构造

def.cauchy-null · 定义 · Cauchy 列 · 完备化

又称Cauchy 列·柯西列·Cauchy sequence·零列·null sequence

陈述

设 $(x_n)$ 是有理数列（即函数 $\omega \to \mathbb{Q}$ ）， $|x|$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的绝对值， $\varepsilon$ 一律取正有理数（此时还不需要实数）。

$(x_n)$ 是 Cauchy 列：

\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall m, n \ge N : |x_m - x_n| < \varepsilon

$(x_n)$ 是零列：

\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n \ge N : |x_n| < \varepsilon

两个 Cauchy 列等价：

(x_n) \sim (y_n) :\iff (x_n - y_n) \text{ 是零列}

（ $\sim$ 是等价关系：自反、对称显然，传递由三角不等式。）

说明

⭐ 为什么要「模去零列」：同一个实数有很多种逼近方式 —— 比如 $(1, 1, 1, \ldots)$ 与 $(1.1,\ 1.01,\ 1.001,\ \ldots)$ 都该代表 $1$ ，而它们的差是零列。等价类把「同一个数的不同逼近」粘成一件事。

⚠ 这里只用 $\mathbb{Q}$ 的序与绝对值（ $\varepsilon$ 取正有理数、绝对值是 $\mathbb{Q}$ 上的），所以不构成循环：这一步在造出 $\mathbb{R}$ 之前完全说得通。度量空间里那套「距离、Cauchy 列、完备」的语言，正是从这里的做法抽出来的。

三条后面要用的事实：

Cauchy 列有界；
Cauchy 列的和、差、积仍是 Cauchy 列；
不是零列的 Cauchy 列，从某一项起 $|x_n| \ge \delta$ （某个正有理数 $\delta$ ）—— 于是它的倒数（去掉前面有限项）也是 Cauchy 列。第三条是「乘法有逆元」的全部依据。

English draft

Translation of the statement above · machine-drafted, pending author review · the Chinese text is authoritative.

Abstract

Over $\mathbb{Q}$ alone — $\varepsilon$ ranges over positive rationals, so no reals are presupposed — a rational sequence $(x_n)$ is Cauchy when $\forall \varepsilon > 0\, \exists N\, \forall m,n \ge N : |x_m - x_n| < \varepsilon$ , is null when $\forall \varepsilon > 0\, \exists N\, \forall n \ge N : |x_n| < \varepsilon$ , and two Cauchy sequences are equivalent when their difference is null. The quotient by this relation is how $\mathbb{R}$ is built: it glues together the many ways of approximating one number. Three facts are used later: Cauchy sequences are bounded, sums and products of Cauchy sequences are Cauchy, and a non-null Cauchy sequence satisfies $|x_n| \ge \delta > 0$ from some point on, so its reciprocal is Cauchy again.

它指向谁（出边）

定义引用 1

实数系 ℝ 用到本页定义引用

⭐ $\mathbb{R}$ 的元素就是「Cauchy 列模去零列」这些等价类 —— 构造直接踩在它上面。

谁指向它（入边）

推出 1

三角不等式 ⟹ 本页推出

三角不等式 $\implies$ 零列关系是等价关系

自反、对称直接由定义读出；传递要三角不等式：若 $(x_n) \sim (y_n)$ 、 $(y_n) \sim (z_n)$ ，则 $|x_n - z_n| \le |x_n - y_n| + |y_n - z_n|$ ，右边两项都是零列，故 $(x_n) \sim (z_n)$ 。没有这一条， $\mathbb{R}$ 就没法定义成商集。∎

定义引用 4

有理数 ℚ → 本页定义引用

Cauchy 列、零列都是有理数列： $\varepsilon$ 取正有理数，绝对值也是 $\mathbb{Q}$ 上的 —— 用 $\mathbb{Q}$ 的序与四则运算就够，不必先有 $\mathbb{R}$ 。
映射 → 本页定义引用

「数列」就是函数 $\omega \to \mathbb{Q}$ ；下标、子列都是函数语言。
商集与等价类 → 本页定义引用

「等价」在这里就是商集意义上的等价关系：把同一个实数的不同逼近方式粘成一类。
绝对值 |x| → 本页定义引用

Cauchy 列的定义式 $|x_m - x_n| < \varepsilon$ 里的 $|\cdot|$ 就是它，而 $\varepsilon$ 取正有理数 —— 这样在造出 $\mathbb{R}$ 之前就说得通。

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3

常见问法 3 条

实数是怎么造出来的也看实数系 ℝ、ℝ 是完备有序域
为什么实数有确界原理也看 ℝ 是完备有序域、界与确界
实数系为什么是完备的也看 ℝ 是完备有序域、阿基米德性质

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